Question

设A，B为曲线C：上两点，A与B的横坐标之和为4.

(1)求直线AB的斜率；

(2)设M为曲线C上一点，C在M处的切线与直线AB平行，且AM⊥BM，求直线AB的方程．

Answer

（1）1；（2）y＝x＋7..

【解析】

（1）设两点坐标，代入抛物线方程 相减后可求得的斜率；

（2）由C在M处的切线与直线AB平行，可求得切点坐标，设直线AB的方程为y＝x＋m，代入抛物线方程可得中点为，AM⊥BM等价于，这样可求得值．

【解析】
(1)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1≠x2，，x1＋x2＝4，于是直线AB的斜率.

(2)由，得.

设M(x3，y3)，由题设知，解得x3＝2，于是M(2，1)．

设直线AB的方程为y＝x＋m，故线段AB的中点为N(2，2＋m)，|MN|＝|m＋1|.

将y＝x＋m代入得x2－4x－4m＝0.

当Δ＝16(m＋1)＞0，即m＞－1时，.

从而.

由题设知|AB|＝2|MN|，即，解得m＝7.

所以直线AB的方程为y＝x＋7.