Question

已知函数.

（1）若是函数的一个极值点，试讨论的单调性；

（2）若在R上有且仅有一个零点，求的取值范围.

Answer

（1）当时，在上单调递减；当时，在上单调递增，在上单调递减；（2）.

【解析】

（1）根据极值点处导数为零，计算出参数以及，再对求导，对参数进行分类讨论，从而求得该函数的单调区间；

（2）分离参数，构造函数，通过讨论构造的函数的单调性求得值域，即可求得参数的取值范围.

（1），

因为是函数的一个极值点，

则，所以，

则，

当，

当时，恒成立，

在上单调递减，

当时，，

所以在上单调递增，在上单调递减.

综上所述：

当时，在上单调递减；

当时，在上单调递增，在上单调递减.

（2）在上有且仅有一个零点，

即方程有唯一的解，令，

可得，

由，

得或，

（1）当时，，所以在上单调递减，

所以，所以的取值范围为.

（2）当时，，所以在上单调递增，

所以，即，

故的取值范围为.

（3）当时，，所以在上单调递减，

所以，即，

即的取值范围为.

所以，当或，

即或时，在上有且只有一个零点，

故的取值范围为.