Question

已知函数.

（1）求的单调区间；

（2）证明：对任意的，不等式恒成立.

Answer

（1）单调递增区间为，单调递减区间为（2）证明见解析

【解析】

(1)求出函数的导数，利用导数的符号研究函数的单调性；(2)不等式恒成立等价于恒成立，利用导数分别分析函数、的单调性与最值，证明即可证明原不等式恒成立.

（1）因为，所以，

令，解得；令，解得.

故的单调递增区间为，单调递减区间为.

（2）要证，只需证.

由（1）可知.

令，则，

令，

所以当时，，单调递增；当时，，单调递减，

则.

因为，所以，所以，

从而，则当时，.

故当时，恒成立，即对任意的，.