Question

对于定义域为的函数，若同时满足下列条件：

①在内单调递增或单调递减；

②存在区间，使在上的值域为；

那么把叫闭函数．

（1）求闭函数符合条件②的区间；

（2）判断函数是否为闭函数？并说明理由；

(3)若是闭函数，求实数的范围．

Answer

（1）；（2）见解析；（3）

【解析】

（1）根据函数的单调性得到关于的方程组，解出即可；

（2）将变形，得到的单调区间，根据闭函数的定义，判定即可得到答案；

（3）根据闭函数的定义得到方程由两个不等的实根，通过讨论，得到关于的不等式组，即可求解.

（1）由题意， 在 上递减，则，解得，

所以，所求的区间为.

（2）在 上单调递增，在上单调递增，

所以，函数在定义域上不单调递增或单调递减，从而该函数不是闭函数

（3）若 是闭函数，则存在区间 ，在区间上，

函数的值域为即 ，

所以为方程的两个实数根，

即方程有两个不等的实根

当时，有，解得

当 时，有，此不等式组无解．

综上所述， .