Question

如图，在多面体ABCDEF中，底面ABCD是边长为2的菱形，，四边形BDEF是矩形，平面平面ABCD，，H是CF的中点.

（1）求证：平面BDEF；

（2）求直线DH与平面CEF所成角的正弦值；

Answer

（1）证明见解析（2）

【解析】

（1）由面面垂直的性质可证平面BDEF；

（2）以AC、BD的交点为坐标原点，DB方向为x轴，AC方向为y轴，建立空间直角坐标系，求出面CEF的法向量，即可求直线DH与平面CEF所成角的正弦值.

（1）证明：四边形ABCD是菱形，.

又平面平面ABCD，平面平面，

且平面ABCD，

平面BDEF；

（2）以AC、BD的交点为坐标原点，DB方向为x轴，AC方向为y轴，建立空间直角坐标系，

,

则，.

设面CEF的法向量为

则，不妨令，

得到面CEF的法向量为，

因此：

即与面CEF所成的角的正弦值为.