Question

已知平面平面ABC，P、P在平面ABC的同侧，二面角的平面角为钝角，Q到平面ABC的距离为，是边长为2的正三角形，，，.

（1）求证：面平面PAB；

（2）求二面角的平面角的余弦值.

Answer

（1）证明见解析（2）

【解析】

（1）由正弦定理，可求得，即，再由平面平面ABC，可得平面PAB，可证得面平面PAB；

（2）以A为坐标原点，，方向为x轴、y轴的正方向，建立空间直角坐标系.

求出平面ACQ, 平面PAC的法向量，即可求得二面角.

（1），

所以，

，

又平面平面ABC，平面，

平面ABC，平面PAB，面PAC，

面面PAB

（2）以A为坐标原点，，方向为x轴、y轴的正方向，建立空间直角坐标系.

则，，，，

设平面ACQ的法向量为，则，

令，

设平面PAC的法向量为，则，

令：，

设二面角的平面角为，则.

而此二面角为锐角，故二面角的平面角的余弦值为.