Question

如图，在几何体中，，四边形为矩形，平面平面，.

(1)求证：平面⊥平面；

(2)点在线段上运动，设平面与平面所成二面角的平面角为，试求的取值范围．

Answer

（1）证明见解析 （2）

【解析】

（1）根据余弦定理求得，根据勾股定理证得，结合面面垂直的性质定理，证得平面，由此证得面平面.

（2）以为轴建立空间直角坐标系，设出点坐标，计算平面和平面的法向量，通过两个法向量计算的表达式，进而求得的取值范围.

(1)证明：在四边形中，∵，∴.

∴，∴.

∵平面平面，平面平面，平面，平面.又因为平面，所以平面平面.

(2)由(1)知可建立分别以直线CA，CB，CF为x轴，y轴，z轴的如图所示的空间直角坐标系，令．

则．

∴．

设为平面的法向量，

由得取，则．

是平面的一个法向量，

∴.

，∴当时，有最小值，当时，有最大值.所以的取值范围是.