Question

已知函数.

（1）指出函数的基本性质：定义域，奇偶性，单调性，值域（结论不需证明），并作出函数的图象；

（2）若关于的不等式恒成立，求实数的取值范围；

（3）若关于的方程恰有个不同的实数解，求实数的取值范围.

Answer

（1）定义域：，是偶函数，在区间和上单调递增，在区间和上单调递减，值域为，作图见解析；（2）；（3）.

【解析】

（1）将函数表示为分段函数，利用基本初等函数的基本性质可得出函数的定义域、奇偶性、单调性和值域，并结合解析式作出该函数的图象；

（2）令，可得出不等式在恒成立，然后利用参变量分离法得出，求出函数的最大值，即可得出实数的取值范围；

（3）令，结合题意可得知关于的方程的两根，，然后利用二次函数的零点分布列出关于、的不等式组，即可求出实数的取值范围.

（1），，函数是偶函数，

在区间和上单调递增，在区间和上单调递减，

函数的最大值是，无最小值，值域为.

作图如下：

（2）因为关于的不等式恒成立，

令，则，即不等式在恒成立.

当时，因为，所以.

又，所以；

（3）关于的方程恰有个不同的实数解即有个不同的解，如下图所示：

当时，方程有四个根；当时，方程有两个根；

当或时， 方程无解.

设方程的两根分别为、，则，.

令，则.

因此，实数的取值范围是.