Question

如图，在长方体ABCD﹣A₁B₁C₁D₁中，底面ABCD是边长为2的正方形．

（1）证明：A₁C₁平面ACD₁；

（2）求异面直线CD与AD₁所成角的大小；

（3）已知三棱锥D₁﹣ACD的体积为，求AA₁的长．

Answer

（1）见解析（2）90°（3）AA1＝1．

【解析】

（1）先证明A1C1AC，即得证；

（2）由CD⊥平面ADD1A1，可得CD⊥AD1，即得解；

（3）由，AA1的长可看作三棱锥D1﹣ACD的高，利用体积即得解.

（1）证明：在长方体中，因A1A＝CC1，A1ACC1，可得A1C1AC，

A1C1不在平面ACD1内，AC⊂平面ACD1，

则A1C1平面ACD1；

（2）【解析】
因为CD⊥平面ADD1A1，AD1⊂平面ADD1A1，可得CD⊥AD1，

所以异面直线CD与AD1所成角90°

（3）【解析】
由三棱锥D1﹣ACD的体积为，

由于平面ACD，且

可得，

∴AA1＝1．