Question

已知椭圆的长轴长是短轴长的2倍，A，B分别为椭圆的左顶点和下顶点，且的面积为1．

（1）求椭圆C的方程；

（2）设点M为椭圆上位于第一象限内一动点，直线与轴交于点C，直线与轴交于点D，求证：四边形的面积为定值．

Answer

（1）．（2）见解析

【解析】

（1）由长轴长是短轴长的2倍，的面积，构建方程组，求得ab，代入椭圆方程得答案；

（2）设有，分别表示直线和的方程，从而表示与，可得与长度关系式，进而可以表示，化简即证..

（1）∵椭圆的长轴长是短轴长的2倍，∴．

∵的面积为1，∴，，

解得，．

∴椭圆C的方程为．

（2）由（1）可知，，

设，则，即．

则直线的方程为．

令，得，即．

同理，直线的方程为，

令，得，即．

∴

因为且，

则原式．

∴四边形的面积为定值2．