Question

已知圆M：（x+m）²+y²＝4n²（m，n＞0且m≠n），点N（m，0），P是圆M上的动点，线段PN的垂直平分线交直线PM于点Q，点Q的轨迹为曲线C．

（1）讨论曲线C的形状，并求其方程；

（2）若m＝1，且△QMN面积的最大值为．直线l过点N且不垂直于坐标轴，l与曲线C交于A，B，点B关于x轴的对称点为D．求证：直线AD过定点，并求出该定点的坐标．

Answer

（1）曲线的形状答案不唯一，见解析，曲线的方程；（2）见解析，定点（4，0）

【解析】

（1）当m＞n，由题意得QN-QM＝2n＜2m，此时Q点轨迹为双曲线的左支；当m＜n，

QN+QM＝2n＞2m，此时Q点轨迹为椭圆.根据概念直接求轨迹方程即可得解.

（2）由题意得Q点方程为，N（1，0），设直线l：x＝my+1，A（x1，y1），

B（x2，y2），D（x2，﹣y2），联立方程得，，表示出直线AD的方程后即可得直线恒过（4，0），即可得证.

（1）当m＞n，即N点在圆M外时，轨迹是双曲线，如图：

因为QP＝QN，则QN-QM＝QP-QM＝MP＝r＝2n＜MN＝2m，

所以点Q的轨迹是以M，N为焦点，以2n为实轴长的双曲线的左支，则Q点轨迹方程为；

当m＜n，即N点在圆M内时，轨迹是椭圆，如图：

因为QP＝QN，则QN+QM＝QP+QM＝MP＝r＝2n＞MN＝2m，所以点Q的轨迹是以M，N为焦点，以2n为长轴长的椭圆，则Q点轨迹方程为；

（2）因为△QMN的面积有最大值，故此时Q点轨迹是椭圆，即Q点所在方程为，

且当Q点为上（下）短轴顶点时△QMN的面积最大，即有2，

解得n2＝4，

所以Q点方程为，N（1，0），设直线l：x＝my+1，A（x1，y1），B（x2，y2），D（x2，﹣y2），

联立，整理得，则，，

因为，

所以直线AD的方程为，

令y＝0，得，

则直线AD必过点（4，0），证毕．