Question

设函数是定义域为R的奇函数.

（1）求实数k的值；

（2）若，试判断函数的单调性，并求不等式的解集；

（3）若，设，在上的最小值为-1，求实数m的值.

Answer

（1）（2）为R上的增函数. .（3）

【解析】

（1）根据函数是定义域为R的奇函数，得，求得，再验证可得值；

（2）由，解得的范围，再根据单调性的定义可证得函数的单调性，根据函数的奇偶性可将不等式变形为，再由函数的单调性可解得不等式的解集；

（3）由可求得，从而得出，再由函数的值域，讨论二次函数的对称轴与区间的关系得出最小值，可求得参数的值.

（1）因为函数是定义域为R的奇函数，所以，即，得.

当时，，，符合题意.

所以.

（2）由（1）知，，解得

设，是任意两个实数，且，

则

因为，，，所以，

所以，即，所以为R上的增函数.

因为是定义域为R的奇函数，所以，

不等式同解于.

因为为R上的增函数，所以，即，解得或，

所以不等式的解集为.

（3）由得，解得.所以，

由（2）知是单调递增函数，因为，所以.

令，则，.

当时，函数在单调递增，不合题意；

当时，函数在单调递减，，解得；

当时，函数在上单调递减，在上单调递增，，得（舍去），

综上可得，实数m的值为.