Question

设函数f（x）的定义域为D，若存在非零实数l使得对于任意x∈M（M⊆D），有x+l∈D，且f（x+l）f（x），则称f（x）为M上的l高调函数.现给出下列命题：①函数f（x）=2^﹣x为R上的1高调函数；②函数f（x）=sin2x为R上的π高调函数；③如果定义域为[﹣1，+∞）的函数f（x）=x²为[﹣1，+∞）上m高调函数，那么实数m的取值范围是[2，+∞）；④函数f（x）=lg（|x﹣2|+1）为[1，+∞）上的2高调函数.其中真命题的个数为(    )

A.0 B.1 C.2 D.3

Answer

D

【解析】

①函数f（x）=2﹣x为R上的单调递减函数，可判断其正误；②由正弦函数的性质可知函数f（x）=sin2x为R上的π高调函数；③定义域为[﹣1，+∞）的函数f（x）=x2为[﹣1，+∞）上m高调函数，只有上至少需要加，从而可求实数m的取值范围；④f（x）=lg（|x|+1），知函数f（x）=lg（|x﹣2|+1）为[1，+∞）上的2高调函数，从而可判断④正误；

①项，由于，故不满足高调函数定义，故①不正确；

②项，由，满足高调函数定义，故②项正确；

③项，由函数的定义域知，即，

又由得到，

又因为，故前式恒成立的条件为，故③正确；

④项，因为，其在区域上为增函数，

故，

在区域上，为减函数，，

可见恒成立，故④正确；

故选：D