Question

已知函数（）．

（1）若为的极值点，求实数的值；

（2）若在上是单调增函数，求实数的取值范围；

（3）当时，方程有实根，求实数的最大值．

Answer

（1）0；（2）；（3）0.

【解析】

(1)根据建立关于a的方程求出a的值.

(2)本小题实质是在区间上恒成立，

进一步转化为在区间上恒成立,

然后再讨论a=0和两种情况研究.

(2)时，方程可化为，,

问题转化为在上有解，

利用导数研究g(x)的单调区间极值最值，从而求出值域，问题得解.

（1）．

因为为的极值点，所以．

即，解得．

又当时，，从而的极值点成立．

（2）因为在区间上为增函数，

所以在区间上恒成立．

①当时，在上恒成立，所以上为增函数，故,符合题意．

②当时，由函数的定义域可知，必须有对恒成立，故只能，所以对

上恒成立．

令，其对称轴为，

因为所以，从而上恒成立，只要即可，

因为，

解得．因为，所以．

综上所述，的取值范围为．

（3）若时，方程可化为，．

问题转化为在上有解，

即求函数的值域．

因为，令，

则，

所以当时，，从而在上为增函数，

当时，，从而在上为减函数，

因此．

而，故，

因此当时，取得最大值0．