Question

四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB∥CD，AD=CD=1，∠BAD=120°，PA=，∠ACB=90°．
（I）求证：BC⊥平面PAC；
（Ⅱ）求二面角D-PC-A的大小；
（Ⅲ）求点B到平面PCD的距离．

Answer

（I）要证BC⊥平面PAC，只需证明PA⊥BC，BC⊥AC即可；
（Ⅱ）先作出二面角D-PC-A的平面角（利用三垂线定理），然后求解即可；
（Ⅲ）要求点B到平面PCD的距离，利用等体积法求解即可．
对于（Ⅱ）（Ⅲ），还可以利用空间直角坐标系，求出相关向量，利用数量积和距离公式解答．
【解析】
法一
（1）证明：∵PA⊥底面ABCD，BC⊂平面ABCD，
∴PA⊥BC，∵∠ACB=90°，∴BC⊥AC．
又PA∩AC=A，∴BC⊥平面PAC；（4分）
（2）∵AB∥CD，∴∠DAB=120°
．∠ADC=60°，又AD=CD=1，∴△ADC为等边三角形，且AC=1．
取AC的中点O，则DO⊥AC，∵PA⊥底面ABCD，∴PA⊥DO，
∴DO⊥平面PAC过O作OH⊥PC，垂足为H，连DH，
由三垂线定理知DH⊥PC．∴∠DHO为二面角D-PC-A的平面角．
由．
∴，∴∠DHO=arctan2．
∴二面角D-PC-A的大小为arctan2；（9分）
（3）设点B到平面PCD的距离的距离为d．
∵AB∥CD，AB⊄平面PCD，CD⊂平面PCD，∴AB∥平面PCD．
∴点B到平面PCD的距离等于点A到平面PCD的距离．（11分）
∵VA-PCD=VP-ACD，∴（13分）
∴．（14分）

解法二
（1）同解法一；（4分）
（2）取CD的中点E，则AE⊥CD，∴AE⊥AB．
又PA⊥底面ABCD，AE⊂面ABCD，∴PA⊥AE，（5分）
建立空间直角坐标系，如图．则
，，（7分）
设n1=（x1，y1，z1）为平面PAC的一个法向量，
n2=（x2，y2，z2）为平面PDC的一个法向量，
则，
可取；

可取．（9分）
∴（10分）
=．
故所求二面角的大小为．（11分）
（3）又（7）．（12分）
由（Ⅱ）取平面PCD的一个法向量，
∴点B到平面PCD的距离的距离为． （13分）
=．（14分）