Question

如图①，在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝1，E是CD的中点，将三角形ADE沿AE翻折到图②的位置，使得平面AED′⊥平面ABC．

（1）在线段BD'上确定点F，使得CF∥平面AED'，并证明；

（2）求△AED'与△BCD'所在平面构成的锐二面角的正切值．

Answer

（1）点F是线段BD'的中点，见解析（2）．

【解析】

（1）取BD'的中点,记AE，BC延长线交于点M，由平面几何知识可得点C是BM的中点，可得CF∥MD'，可得CF∥平面AED'；

（2）先根据面面垂直的性质可得BE⊥平面AED'，在平面AED'内作EN⊥MD'，可得∠BNE就是△AED'与△BCD'所在平面构成的锐二面角的平面角，最后解三角形可得锐二面角的正切值.

（1）点F是线段BD'的中点时，CF∥平面AED'．

证明：记AE，BC延长线交于点M，

∵AB＝2EC，∴点C是BM的中点，

∴CF∥MD'，而MD'在平面AED'内，CF在平面AED'外，

∴CF∥平面AED'；

（2）在矩形ABCD中，AB＝2，CD＝1，BE⊥AE，

∵平面AED'⊥平面ABC，且交线是AE，∴BE⊥平面AED'，

在平面AED'内作EN⊥MD'，连接BN，则BN⊥MD′．

∴∠BNE就是△AED'与△BCD'所在平面构成的锐二面角的平面角，

求解三角形可得，，

∴．