Question

设是由个有序实数构成的一个数组，记作：.其中称为数组的“元”，称为的下标，如果数组中的每个“元”都是来自数组中不同下标的“元”，则称为的子数组.定义两个数组，的关系数为.

（1）若，，设是的含有两个“元”的子数组，求的最大值；

（2）若，，且，为的含有三个“元”的子数组，求的最大值；

（3）若数组中的“元”满足，设数组含有四个“元”，且，求与的所有含有三个“元”的子数组的关系数（）的最大值.

Answer

（1）2（2）1（3）

【解析】

（1）根据题中“元”的定义，列出所有的含有两个“元”的子数组，当取到时，取到最大值；

（2）需要进行分类讨论，分为中含0和不含0这个“元”两种具体情况进行分类讨论，再结合不等式性质进行合理放缩即可求得最值；

（3）可以借鉴（2）中解题方法，分为和两种情况，再结合基本不等式性质经行求解即可

（1）由题，列出所有符合题意的子数组：，，，，

，，由定义，，计算可得，当时，；

（2）由，可知，实数具有对称性，故分为中含0和不含0这个“元”两种具体情况进行分类讨论；

①当0是中的“元”时，由于中的三个“元”都相等及中三个“元”的对称性，可只计算的最大值，，

由可得，

故当时达到最大值，故；

②当不是中的“元”时，

又，根据同向可加性可得

，即，则

，当且仅当时，取到最大值，故；

综上所述，；

（3）解法和（2）接近，，，根据及

的对称性，分为和两种情况进行求解；

当时，为了保证不等式的等价性，需对做变形处理，得

，此时

，当且仅当时等号成立；

；

当时，，此时，

综上所述，