一般来说,依据数学研究对象本质属性的相同点和差异点,将数学对象分为不同种类的数学思想叫做“分类”的思想;将事物进行分类,然后对划分的每一类分别进行研究和求解的方法叫做“分类讨论”的方法.请依据分类的思想和分类讨论的方法解决下列问题:
如图,在△ABC中,∠ACB>∠ABC. (1)若∠BAC是锐角,请探索在直线AB上有多少个点D,能保证△ACD∽△ABC(不包括全等)? (2)请对∠BAC进行恰当的分类,直接写出每一类在直线AB上能保证△ACD∽△ABC(不包括全等)的点D的个数? ![]() 如图,AB=3AC,BD=3AE,又BD∥AC,点B,A,E在同一条直线上.
(1)求证:△ABD∽△CAE; (2)如果AC=BD,AD=2 ![]() ![]() 如(a)图,在平面直角坐标系中,点A坐标为(12,0),点B坐标为(6,8),点C为OB的中点,点D从点O出发,沿△OAB的三边按逆时针方向以2个单位长度/秒的速度运动一周.
(1)点C坐标是______,当点D运动8.5秒时所在位置的坐标是______; (2)设点D运动的时间为t秒,试用含t的代数式表示△OCD的面积S,并指出t为何值时,S最大; (3)点E在线段AB上以同样速度由点A向点B运动,如(b)图,若点E与点D同时出发,问在运动5秒钟内,以点D,A,E为顶点的三角形何时与△OCD相似?(只考虑以点A、O为对应顶点的情况) ![]() 如图,方格纸中每个小正方形的边长为1,△ABC和△DEF的顶点都在方格纸的格点上.
(1)判断△ABC和△DEF是否相似,并说明理由; (2)P1,P2,P3,P4,P5,D,F是△DEF边上的7个格点,请在这7个格点中选取3个点作为三角形的顶点,使构成的三角形与△ABC相似(要求写出2个符合条件的三角形,并在图中连接相应线段,不必说明理由) ![]() 如图,已知OA⊥OB,OA=4,OB=3,以AB为边作矩形ABCD,使AD=a,过点D作DE垂直OA的延长线交于点E.
(1)证明:△OAB∽△EDA; (2)当a为何值时,△OAB与△EDA全等?请说明理由,并求出此时点C到OE的距离. ![]() 学习《图形的相似》后,我们可以借助探索两个直角三角形全等的条件所获得经验,继续探索两个直角三角形相似的条件.
(1)“对与两个直角三角形,满足一边一锐角对应相等,或两直角边对应相等,两个直角三角形全等”.类似地你可以得到:“满足______,或______,两个直角三角形相似”. (2)“满足斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等”,类似地你可以得到“满足______的两个直角三角形相似”. 请结合下列所给图形,写出已知,并完成说理过程. 已知:如图,______. 试说明Rt△ABC∽Rt△A′B′C′. ![]() 已知:正方形ABCD中,E、F分别是边CD、DA上的点,且CE=DF,AE与BF交于点M.
(1)求证:△ABF≌△DAE; (2)找出图中与△ABM相似的所有三角形(不添加任何辅助线). ![]() 如图①,将一张矩形纸片对折,然后沿虚线剪切,得到两个(不等边)三角形纸片△ABC,△A1B1C1.
![]() ﹙1﹚将△ABC,△A1B1C1如图②摆放,使点A1与B重合,点B1在AC边的延长线上,连接CC1交BB1于点E.求证:∠B1C1C=∠B1BC. ﹙2﹚若将△ABC,△A1B1C1如图③摆放,使点B1与B重合,点A1在AC边的延长线上,连接CC1交A1B于点F,试判断∠A1C1C与∠A1BC是否相等,并说明理由. ﹙3﹚写出问题﹙2﹚中与△A1FC相似的三角形. ![]() 如图①,将边长为4cm的正方形纸片ABCD沿EF折叠(点E、F分别在边AB、CD上),使点B落在AD边上的点M处,点C落在点N处,MN与CD交于点P,连接EP.
(1)如图②,若M为AD边的中点, ①△AEM的周长=______cm; ②求证:EP=AE+DP; (2)随着落点M在AD边上取遍所有的位置(点M不与A、D重合),△PDM的周长是否发生变化?请说明理由. ![]() A.某中学师生在劳动基地活动时,看到木工师傅在材料边角处画直角时,用了一种“三弧法”.方法是:
①画线段AB,分别以A,B为圆心,AB长为半径画弧相交于C; ②以C为圆心,仍以AB长为半径画弧交AC的延长线于D; ③连接DB.则∠ABD就是直角. (1)请你就∠ABD是直角作出合理解释; (2)现有一长方形木块的残留部分如图,其中AB,CD整齐且平行,BC,AD是参差不齐的毛边.请你在毛边附近用尺规画一条与AB,CD都垂直的边(不写作法,保留作图痕迹); ![]() B.如图,在△ABC中,D为AC上一点,CD=2DA,∠BAC=45°,∠BDC=60°,CE⊥BD,E为垂足,连接AE. (1)写出图中所有相等的线段,并选择其中一对给予证明; (2)图中有无相似三角形?若有,请写出一对;若没有,请说明理由. ![]() 已知Rt△ABC中,∠B=90°.
(1)根据要求作图(尺规作图,保留作图痕迹,不写画法). ①作∠BAC的平分线AD交BC于D; ②作线段AD的垂直平分线交AB于E,交AC于F,垂足为H; ③连接ED. (2)在(1)的基础上写出一对相似比不为1的相似三角形和一对全等三角形: △______∽△______;△______≌△______. 并选择其中一对加以证明. ![]() 如图,在平面直角坐标系中,等腰梯形AOBC的四个顶点坐标分别为A(2,2
![]() ![]() (1)求等腰梯形AOBC的面积; (2)试说明点A在以OB的中点D为圆心,OB为直径的圆上; (3)在第一象限内确定点M,使△MOB与△AOB相似,求出所有符合条件的点M的坐标. ![]() 如图,在△ABC中,AB=AC,DE=EC,DH∥BC,EF∥AB,HE的延长线与BC的延长线相交于点M,点G在BC上,且∠1=∠2,不添加辅助线,解答下列问题:
(1)找出一个等腰三角形;(不包括△ABC) (2)找出三对相似三角形;(不包括全等三角形) (3)找出两对全等三角形,并选出一对进行证明. ![]() 如图,已知AB=AC,∠A=36°,AB的中垂线MN交AC于点D,交AB于点M,有下面4个结论:
①BD是∠ABC的角平分线; ②△BCD是等腰三角形; ③△ABC∽△BCD; ④△AMD≌△BCD. (1)判断其中正确的结论是哪几个? (2)从你认为是正确的结论中选一个加以证明. ![]() 如图,在Rt△ABC中,已知∠ACB=90°,且CH⊥AB,HE⊥BC,HF⊥AC.
求证:(1)△HEF≌△EHC; (2)△HEF∽△HBC. ![]() 两块含30°角的相同直角三角板,按如图位置摆放,使得两条相等的直角边AC、C1A1共线.
(1)问图中有多少对相似三角形,多少对全等三角形?并将它们写出来; (2)选出其中一对全等三角形进行证明.(△ABC≌△AlBlC1除外) ![]() ![]() 如图,在平面直角坐标系xOy中,已知矩形OACB的边OA,OB分别在x轴上和y轴上,线段OA,OB的长分别是一元二次方程x2-18x+72=0的两个根,且OA>OB;点P从点O开始沿OA边匀速移动,点M从点B开始沿BO边匀速移动.如果点P,点M同时出发,它们移动的速度相同,设OP=x(0≤x≤6),设△POM的面积为y.
(1)求y与x的函数关系式; (2)连接矩形的对角线AB,当x为何值时,以P,O,M为顶点的三角形与△AOB相似; (3)当△POM的面积最大时,将△POM沿PM所在直线翻折后得到△PDM,试判断D点是否在矩形的对角线AB上,请说明理由. ![]() 如图,平行四边形ABCD中,AB=4,BC=3,∠BAD=120°,E为BC上一动点(不与B重合),作EF⊥AB于F,FE,DC的延长线交于点G,设BE=x,△DEF的面积为S.
(1)求证:△BEF∽△CEG; (2)求用x表示S的函数表达式,并写出x的取值范围; (3)当E运动到何处时,S有最大值,最大值为多少? ![]() 如图,在Rt△ABC中,AB=AC,P是边AB(含端点)上的动点.过P作BC的垂线PR,R为垂足,∠PRB的平分线与AB相交于点S,在线段RS上存在一点T,若以线段PT为一边作正方形PTEF,其顶点E,F恰好分别在边BC,AC上.
(1)△ABC与△SBR是否相似,说明理由; (2)请你探索线段TS与PA的长度之间的关系; (3)设边AB=1,当P在边AB(含端点)上运动时,请你探索正方形PTEF的面积y的最小值和最大值. ![]() 如图,已知反比例函数
![]() (1)求反比例函数和一次函数的关系式; (2)在直线AB上是否存在一点P,使△APO∽△AOB?若存在,求P点坐标;若不存在,请说明理由. ![]() 点P是△ABC中AB边上的一点,过点P作直线(不与直线AB重合)截△ABC,使截得的三角形与△ABC相似.满足这样条件的直线最多有 条.
在△ABC中,AB>BC>AC,D是AC的中点,过点D作直线L,使截得的三角形与原三角形相似,这样的直线L有 条.
如图,在正方形网格上的三角形①,②,③中,与△ABC相似的三角形有 个.
![]() 如图,已知△ABC中,EF∥GH∥IJ∥BC,则图中相似三角形共有 对.
![]() 如图,∠C=∠E=90°,AD=10,DE=8,AB=5,则AC= .
![]() 已知如图,D是△ABC(三边互不相等)的边AC上的一点,过D点画线段DE,使点E在△ABC的边上,并且点D、E和△ABC的一个顶点组成的小三角形与ABC相似,则这样的画法有( )
![]() A.5种 B.4种 C.3种 D.2种 如图,P是Rt△ABC的斜边BC上异于B,C的一点,过P点作直线截△ABC,使截得的三角形与△ABC相似,满足这样条件的直线共有( )
![]() A.1条 B.2条 C.3条 D.4条 如图,ABCD是平行四边形,则图中与△DEF相似的三角形共有( )
![]() A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 已知△ABC的三边长分别为6cm,7.5cm,9cm,△DEF的一边长为4cm,当△DEF的另两边长是下列哪一组时,这两个三角形相似( )
A.2cm,3cm B.4cm,5cm C.5cm,6cm D.6cm,7cm |