如图已知点B在以AC为直径的圆上，SA⊥面ABC，AE⊥SB于E，AF⊥SC于F．
（1）证明：SC⊥EF；
（2）若SA=a，∠ASC=，求三棱锥S-AEF的体积．

如图，四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，PA=AB，底面ABCD为直角梯形，∠ABC=∠BAD=90°，PA=BC=．
（1）求证：平面PAC⊥平面PCD；
（2）在棱PD上是否存在一点E，使CE∥平面PAB？若存在，请确定E点的位置；若不存在，请说明理由．

如图，菱形ABCD所在平面与矩形ACEF所在平面互相垂直，已知BD=2AF，且点M是线段EF的中点．
（1）求证：AM∥平面BDE；（6分）
（2）求证：平面DEF⊥平面BEF．（8分）

如图，已知矩形ABCD中，AB=10，BC=6，将矩形沿对角线BD把△ABD折起，使A移到A₁点，且A₁在平面BCD上的射影O恰好在CD上．
（1）求证：BC⊥A₁D；
（2）求证：平面A₁BC⊥平面A₁BD；
（3）求三棱锥A₁-BCD的体积．

如图，已知空间四边形ABCD中，BC=AC，AD=BD，E是AB的中点．
求证：
（1）AB⊥平面CDE；
（2）平面CDE⊥平面ABC；
（3）若G为△ADC的重心，试在线段AE上确定一点F，使得GF∥平面CDE．

如图，四边形ABCD是正方形，PB⊥平面ABCD，MA⊥平面ABCD，PB=AB=2MA．求证：
（1）平面AMD∥平面BPC；
（2）平面PMD⊥平面PBD．

如图，在四棱锥P-ABCD中，底面是正方形，侧面PAD⊥底面ABCD，且PA=PD=AD，若E、F分别为PC、BD的中点．
（Ⅰ） 求证：EF∥平面PAD；
（Ⅱ） 求证：EF⊥平面PDC．

如图，直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，∠ACB=90°，M，N分别为A₁B，B₁C₁的中点．
求证BC∥平面MNB₁．

已知正项数列{a_n}和{b_n}中，a₁=a（0＜a＜1），b₁=1-a．当n≥2时，a_n=a_n-1b_n，b_n=．
（1）证明：对任意n∈N^*，有a_n+b_n=1；
（2）求数列{a_n}的通项公式．

已知点P_n（a_n，b_n）满足a_n+1=a_n•b_n+1，b_n+1=（n∈N^*）且点P₁的坐标为（1，-1）．
（1）求过点P₁，P₂的直线l的方程；
（2）试用数学归纳法证明：对于n∈N^*，点P_n都在（1）中的直线l上．

对于n∈N^*，用数学归纳法证明：
1•n+2•（n-1）+3•（n-2）+…+（n-1）•2+n•1=n（n+1）（n+2）．

数列{a_n}满足S_n=2n-a_n，n∈N⁺．（S_n为前n项和）
（1）计算a₁，a₂，a₃，a₄，并由此猜想a_n；（2）用数学归纳法证明（1）中的结论．

数列{a_n}中，已知a₁=1，当n≥2时，a_n-a_n-1=2n-1，依次计算a₂，a₃，a₄后，猜想a_n的表达式是    ．

若f（n）=1²+2²+3²+…+（2n）²，则f（k+1）与f（k）的递推关系式是     ．

利用数学归纳法证明“（n+1）（n+2）…（n+n）=2ⁿ×1×3×…×（2n-1），n∈N^*”时，从“n=k”变到“n=k+1”时，左边应增乘的因式是    ．

用数学归纳法证明1+2+3+…+n²=时，当n=k+1时左端在n=k时的左端加上     ．

用数学归纳法证明：当n∈N^*时，1+2+2²+…+2^5n-1是31的倍数时，当n=1时，原式的值为    ；从k到k+1时需增添的项是    ．

在数列{a_n}中，a₁=，且S_n=n（2n-1）a_n，通过求a₂，a₃，a₄，猜想a_n的表达式（ ）
A．
B．
C．
D．

已知1+2×3+3×3²+4×3²+…+n×3^n-1=3ⁿ（na-b）+c对一切n∈N^*都成立，则a、b、c的值为（ ）
A．a=，b=c=
B．a=b=c=
C．a=0，b=c=
D．不存在这样的a，b，c

下列代数式（其中k∈N^*）能被9整除的是（ ）
A．6+6•7^k
B．2+7^k-1
C．2（2+7^k+1）
D．3（2+7^k）

在用数学归纳法证明时，在验证当n=1时，等式左边为（ ）
A．1
B．1+a
C．1+a+a²
D．1+a+a²+a³

用数学归纳法证明等式1+3+5+…+（2n-1）=n²（n∈N^*）的过程中，第二步假设n=k时等式成立，则当n=k+1时应得到（ ）
A．1+3+5+…+（2k+1）=k²
B．1+3+5+…+（2k+1）=（k+1）²
C．1+3+5+…+（2k+1）=（k+2）²
D．1+3+5+…+（2k+1）=（k+3）²

用数学归纳法证明“当n为正奇数时，xⁿ+yⁿ能被x+y整除”，第二步归纳假设应写成（ ）
A．假设n=2k+1（k∈N^*）正确，再推n=2k+3正确
B．假设n=2k-1（k∈N^*）正确，再推n=2k+1正确
C．假设n=k（k∈N^*）正确，再推n=k+1正确
D．假设n=k（k≥1）正确，再推n=k+2正确

设平面内有k条直线，其中任何两条不平行，任何三条不共点，设k条直线的交点个数为f（k），则f（k+1）与f（k）的关系是（ ）
A．f（k+1）=f（k）+k+1
B．f（k+1）=f（k）+k-1
C．f（k+1）=f（k）+k
D．f（k+1）=f（k）+k+2

在数列{a_n}中，a_n=1-+-+…+-，则a_k+1=（ ）
A．a_k+
B．a_k+-
C．a_k+
D．a_k+-

一个关于自然数n的命题，如果验证当n=1时命题成立，并在假设当n=k（k≥1且k∈N^*）时命题成立的基础上，证明了当n=k+2时命题成立，那么综合上述，对于（ ）
A．一切正整数命题成立
B．一切正奇数命题成立
C．一切正偶数命题成立
D．以上都不对

已知函数f（x）=ax³-bx²+9x+2，若f（x）在x=1处的切线方程为3x+y-6．
（1）求f（x）的解析式及单调区间；
（2）若对任意的x∈[，2]都有f（x）≥t²-2t-1成立，求函数g（x）≥t²+t-2的最值．

已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）过点（1，），且长轴长等于4．
（I）求椭圆C的方程；
（II）F₁，F₂是椭圆C的两个焦点，⊙O是以F₁，F₂为直径的圆，直线l：y=kx+m与⊙O相切，并与椭圆C交于不同的两点A，B，若•=-，求k的值．

如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，且PA=AD，点F是棱PD的中点，点E在棱CD上移动．
（Ⅰ）当点E为CD的中点时，试判断直线EF与平面PAC的关系，并说明理由；
（Ⅱ）求证：PE⊥AF．

已知各项均不相等的等差数列{a_n}的前四项和S₄=14，且a₁，a₃，a₇成等比数列．
（I）求数列{a_n}的通项公式；
（II）设T_n为数列{}的前n项和，若T_n≤λa_n+1对∀n∈N^*恒成立，求实数λ的最小值．

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