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已知A、D是一段圆弧上的两点，且在直线l的同侧，分别过这两点作l的垂线，垂足为B、C，E是BC上一动点，连接AD、AE、DE，且∠AED=90度． （1）如图①，如果AB=6，BC=16，且BE：CE=1：3，求AD的长； （2）如图②，若点E恰为这段圆弧的圆心，则线段AB、BC、CD之间有怎样的等量关系？请写出你的结论并予以证明．再探究：当A、D分别在直线l两侧且AB≠CD，而其余条件不变时，线段AB、BC、CD之间又有怎样的等量关系？请直接写出结论，不必证明．  |
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如图，△ABC是等边三角形，⊙O过点B，C，且与BA，CA的延长线分别交于点D，E，弦DF∥AC，EF的延长线交BC的延长线于点G． （1）求证：△BEF是等边三角形； （2）若BA=4，CG=2，求BF的长． 
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如图，点C、D在线段AB上，△PCD是等边三角形． （1）当AC、CD、DB满足怎样的关系时，△ACP∽△PDB； （2）当△ACP∽△PDB时，求∠APB的度数． 
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已知：如图，在△ABC中，D为AB边上一点，∠A=36°，AC=BC，AC2=AB•AD． （1）试说明：△ADC和△BDC都是等腰三角形；（2）若AB=1，求AC的值； （3）试构造一个等腰梯形，该梯形连同它的两条对角线，得到了8个三角形，要求构造出的图形中有尽可能多的等腰三角形．（标明各角的度数） 
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如图，在△ABC中，AB=AC，DE=EC，DH∥BC，EF∥AB，HE的延长线与BC的延长线相交于点M，点G在BC上，且∠1=∠2，不添加辅助线，解答下列问题： （1）找出一个等腰三角形；（不包括△ABC） （2）找出三对相似三角形；（不包括全等三角形） （3）找出两对全等三角形，并选出一对进行证明． 
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如图，等腰三角形ABC中，若∠A=∠B=∠DPE， （1）求证：△APD∽△BEP； （2）若AP=1，PB=2，BE=  ，试求出AD的长．
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如图，已知AB=AC，∠A=36°，AB的中垂线MN交AC于点D，交AB于点M，有下面4个结论： ①BD是∠ABC的角平分线； ②△BCD是等腰三角形； ③△ABC∽△BCD； ④△AMD≌△BCD． （1）判断其中正确的结论是哪几个？ （2）从你认为是正确的结论中选一个加以证明． 
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如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=36°，线段AB的垂直平分线交AB于D，交AC于E，连接BE． （1）求证：∠CBE=36°； （2）求证：AE2=AC•EC． 
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两块含30°角的相同直角三角板，按如图位置摆放，使得两条相等的直角边AC、C1A1共线． （1）问图中有多少对相似三角形，多少对全等三角形？并将它们写出来； （2）选出其中一对全等三角形进行证明．（△ABC≌△AlBlC1除外） 
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如图1，在同一平面内，将两个全等的等腰直角三角形ABC和AFG摆放在一起，A为公共顶点，∠BAC=∠AGF=90°，它们的斜边长为2，若△ABC固定不动，△AFG绕点A旋转，AF、AG与边BC的交点分别为D、E（点D不与点B重合，点E不与点C重合），设BE=m，CD=n． （1）请在图中找出两对相似而不全等的三角形，并选取其中一对进行证明； （2）求m与n的函数关系式，直接写出自变量n的取值范围； （3）以△ABC的斜边BC所在的直线为x轴，BC边上的高所在的直线为y轴，建立平面直角坐标系（如图2）．在边BC上找一点D，使BD=CE，求出D点的坐标，并通过计算验证BD2+CE2=DE2； （4）在旋转过程中，（3）中的等量关系BD2+CE2=DE2是否始终成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．  |
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