已知：如图，△ABC内接于⊙O，AB为直径，弦CE⊥AB于F，C是 的中点，连接BD并延长交EC的延长线于点G，连接AD，分别交CE、BC于点P、Q．（1）求证：P是△ACQ的外心； （2）若  ，求CQ的长；（3）求证：（FP+PQ）2=FP•FG． 
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如图，在平面直角坐标系中，点O是坐标原点，四边形AOCB是梯形，AB∥OC，点A的坐标为（0，8），点C的坐标为（10，0），OB=OC． （1）求点B的坐标； （2）点P从C点出发，沿线段CO以5个单位/秒的速度向终点O匀速运动，过点P作PH⊥OB，垂足为H，设△HBP的面积为S（S≠0），点P的运动时间为t秒，求S与t之间的函数关系式（直接写出自变量t的取值范围）； （3）在（2）的条件下，过点P作PM∥CB交线段AB于点M，过点M作MR⊥OC，垂足为R，线段MR分别交直线PH、OB于点E、G，点F为线段PM的中点，连接EF，当t为何值时，  ？
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刘卫同学在一次课外活动中，用硬纸片做了两个直角三角形，见图①、②．图①中，∠B=90°，∠A=30°，BC=6cm；图②中，∠D=90°，∠E=45°，DE=4cm．图③是刘卫同学所做的一个实验：他将△DEF的直角边DE与△ABC的斜边AC重合在一起，并将△DEF沿AC方向移动．在移动过程中，D、E两点始终在AC边上（移动开始时点D与点A重合）． （1）在△DEF沿AC方向移动的过程中，刘卫同学发现：F、C两点间的距离逐渐______．（填“不变”、“变大”或“变小”） （2）刘卫同学经过进一步地研究，编制了如下问题： 问题①：当△DEF移动至什么位置，即AD的长为多少时，F、C的连线与AB平行？ 问题②：当△DEF移动至什么位置，即AD的长为多少时，以线段AD、FC、BC的长度为三边长的三角形是直角三角形？ 问题③：在△DEF的移动过程中，是否存在某个位置，使得∠FCD=15°？如果存在，求出AD的长度；如果不存在，请说明理由． 请你分别完成上述三个问题的解答过程．  |
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 在平行四边形ABCD中，过点A作AE⊥BC，垂足为E，连接DE，F为线段DE上一点，且∠AFE=∠B（1）求证：△ADF∽△DEC； （2）若AB=4，AD=3  ，AE=3，求AF的长． |
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如图，△ABC是等边三角形，⊙O过点B，C，且与BA，CA的延长线分别交于点D，E，弦DF∥AC，EF的延长线交BC的延长线于点G． （1）求证：△BEF是等边三角形； （2）若BA=4，CG=2，求BF的长． 
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如图CE是等边三角形ABC边AB边上的高，AB=4，DA⊥AB，DA= ，BD与CE、CA分别交于点F、M．（1）求CF的长； （2）求△ABM的面积． 
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已知：如图，在△ABC中，D为AB边上一点，∠A=36°，AC=BC，AC2=AB•AD． （1）试说明：△ADC和△BDC都是等腰三角形；（2）若AB=1，求AC的值； （3）试构造一个等腰梯形，该梯形连同它的两条对角线，得到了8个三角形，要求构造出的图形中有尽可能多的等腰三角形．（标明各角的度数） 
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在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=2，点D在BC所在的直线上运动，作∠ADE=45°（A，D，E按逆时针方向）． （1）如图1，若点D在线段BC上运动，DE交AC于E． ①求证：△ABD∽△DCE； ②当△ADE是等腰三角形时，求AE的长． （2）①如图2，若点D在BC的延长线上运动，DE的反向延长线与AC的延长线相交于点E，是否存在点D，使△ADE'是等腰三角形？若存在，写出所有点D的位置；若不存在，请简要说明理由； ②如图3，若点D在BC的反向延长线上运动，是否存在点D，使△ADE是等腰三角形？若存在，写出所有点D的位置；若不存在，请简要说明理由．  |
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如图，在△ABC中，AB=AC，DE=EC，DH∥BC，EF∥AB，HE的延长线与BC的延长线相交于点M，点G在BC上，且∠1=∠2，不添加辅助线，解答下列问题： （1）找出一个等腰三角形；（不包括△ABC） （2）找出三对相似三角形；（不包括全等三角形） （3）找出两对全等三角形，并选出一对进行证明． 
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阅读下列材料，按要求解答问题： 如图1，在△ABC中，∠A=2∠B，且∠A=60度．小明通过以下计算：由题意，∠B=30°，∠C=90°，c=2b，a=  b，得a2-b2=（ b）2-b2=2b2=b•c．即a2-b2=bc．于是，小明猜测：对于任意的△ABC，当∠A=2∠B时，关系式a2-b2=bc都成立．（1）如图2，请你用以上小明的方法，对等腰直角三角形进行验证，判断小明的猜测是否正确，并写出验证过程； （2）如图3，你认为小明的猜想是否正确？若认为正确，请你证明；否则，请说明理由； （3）若一个三角形的三边长恰为三个连续偶数，且∠A=2∠B，请直接写出这个三角形三边的长，不必说明理由． 
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