2013届江苏盐城明达中学高三上学期学情调研考试数学试卷（解析版）

一、填空题

1. 难度：简单

已知全集,集合,,则=         .

2. 难度：简单

已知复数的实部为,虚部为,则(为虚数单位)的模为         .

3. 难度：简单

某学校为了解该校1200名男生的百米成绩（单位：秒），随机选择了50名学生进行调查.下图是这50名学生百米成绩的频率分布直方图.根据样本的频率分布,估计这1200名学生中成绩在（单位：秒）内的人数大约是         .

4. 难度：简单

已知张卡片（大小,形状都相同）上分别写有,,,,从中任取两张,则这两张卡片中最大号码是3的概率为         .

5. 难度：简单

按如图所示的流程图运算,则输出的         .

6. 难度：简单

��֪����, ��,��ʵ��=         .

7. 难度：简单

已知数列成等差数列,其前项和为,若,则的余弦值为         .

8. 难度：简单

设为两个不重合的平面，为两条不重合的直线，

现给出下列四个命题：

①若,则；

②若，则；

③若则；

④若则.

其中,所有真命题的序号是         .

9. 难度：简单

已知函数,满足,,,,则函数的图象在处的切线方程为         .

10. 难度：简单

在中,,,则的面积为         .

11. 难度：简单

已知椭圆和圆,若上存在点,使得过点引圆的两条切线,切点分别为,满足,则椭圆的离心率的取值范围是         .

12. 难度：简单

设,其中为过点的直线的倾斜角,若当最大时,直线恰好与圆相切,则         .

13. 难度：简单

已知函数恰有两个不同的零点,则实数的取值范围是

         .

14. 难度：简单

已知对于任意的实数,恒有“当时,都存在满足方程”,则实数的取值构成的集合为         .

二、解答题

15. 难度：简单

(本小题满分14分)已知角、、是的内角，分别是其对边长，向量，，.

 (1)求角的大小；

(2)若,求的长.

16. 难度：简单

(本小题满分14分)如图，在四面体中,,是的中点．

(1)求证:平面；

(2)设为的重心,是线段上一点,且.求证:平面.

17. 难度：简单

(本小题满分14分)如图,有三个生活小区(均可看成点)分别位于三点处,,到线段的距离,(参考数据: ). 今计划建一个生活垃圾中转站,为方便运输,准备建在线段(不含端点)上.

（1）设,试将到三个小区距离的最远者表示为的函数,并求的最小值；

（2）设,试将到三个小区的距离之和表示为的函数,并确定当取何值时,可使最小?

18. 难度：简单

(本小题满分16分)如图,是椭圆的左、右顶点,椭圆的离心率为,右准线的方程为.

(1)求椭圆方程；

(2)设是椭圆上异于的一点,直线交于点,以为直径的圆记为.

①若恰好是椭圆的上顶点,求截直线所得的弦长;

②设与直线交于点,试证明:直线与轴的交点为定点,并求该定点的坐标.

19. 难度：简单

(本小题满分16分)

已知数列是等差数列,数列是等比数列,且对任意的,都有.

 (1)若的首项为4,公比为2,求数列的前项和;

 (2)若.

①求数列与的通项公式;

②试探究:数列中是否存在某一项,它可以表示为该数列中其它项的和？若存在,请求出该项；若不存在,请说明理由．

20. 难度：简单

(本小题满分16分)

 已知函数,其中.

（1）当时,求函数在处的切线方程;

（2）若函数在区间(1,2)上不是单调函数,试求的取值范围;

（3）已知,如果存在,使得函数在处取得最小值,试求的最大值.

21. 难度：简单

在直角三角形中,是边上的高,,,分别为垂足,求证：.

22. 难度：简单

如图,在四棱锥中,⊥底面,底面为梯形,,,,点在棱上,且．

(1)求证：平面⊥平面；

(2)求平面和平面所成锐二面角的余弦值．

23. 难度：简单

已知数列满足,试证明:

 (1)当时,有；

(2).