2012年河南省新乡、许昌、平顶山高考数学一模试卷（文科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

设集合U={1，2，3，4}，M={1，2，3}，N={2，3，4}，则∁_U（M∩N）（ ）
A．{1，2}
B．{2，3}
C．{2，4}
D．{1，4}

2. 难度：中等

若，则复数=（ ）
A．-2-i
B．-2+i
C．2-i
D．2+i

3. 难度：中等

在等差数列{a_n} 中，a₇+a₈+a₉=24，则S₁₅=（ ）
A．100
B．120
C．130
D．140

4. 难度：中等

若曲线f（x）=x•sinx+1在x=处的切线与直线ax+2y+1=0互相垂直，则实数a等于（ ）
A．-2
B．-1
C．1
D．2

5. 难度：中等

如图是一个几何体的三视图，则这个几何体的体积是（ ）

A．27
B．30
C．33
D．36

6. 难度：中等

设f（x）是周期为2的奇函数，当0≤x≤1时，f（x）=2x（1-x），则=（ ）
A．-
B．-
C．
D．

7. 难度：中等

设向量、满足||=||=1，•=-，|+2|=（ ）
A．.
B．
C．、
D．.

8. 难度：中等

阅读程序框图，运行相应的程序，则输出i的值为（ ）
A．3
B．4
C．5
D．6

9. 难度：中等

如图示，边长为2的正方形中有一封闭曲线围成的阴影区域，在正方形中随机撒一粒豆子，它落在阴影区域内的概率为，则阴影区域的面积为（ ）
A．
B．
C．
D．无法计算

10. 难度：中等

设双曲线的-个焦点为F；虚轴的-个端点为B，如果直线FB与该双曲线的一条渐近线垂直，那么此双曲线的离心率为（ ）
A．
B．
C．
D．

11. 难度：中等

已知a，b为正实数，函数y=2ae^x+b的图象经过点（O，1），则的最小值为（ ）
A．3+2
B．3-2
C．4
D．2

12. 难度：中等

已知函数f（x）=sin（2x+φ）．其中φ为实数，若f（x）≤|f（）|对x∈R恒成立，且 f（）＞f（π），|φ|＜π．则f（x）的递减区间是（ ）
A．
B．
C．
D．

二、解答题

13. 难度：中等

若实数x、y满足不等式组，则x+y的最小值等于    ．

14. 难度：中等

已知直线l₁：（a-2）x+3y+a=0与l₂：ax+（a-2）y-1=0，当l₁⊥l₂时，a=    ．

15. 难度：中等

在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若其面积S=（b²+c²-a²），则∠A=    ．

16. 难度：中等

已知函数，f（x）=，若互不相等的实数a b、c满足f（a）=f（b）=f（c），则a+b+c的取值范围是    ．

17. 难度：中等

已知数列{a_n} 的前n项和为S_n，且S_n=n²，n∈N^*，数列{b_n} 是等比数列，且满足：b₁=a₁，2b₃=b₄．
（I）求数列{a_n} 和{b_n} 的通项公式；
（n）设，求数列{c_n} 前n项和T_n．

18. 难度：中等

一个袋中装有四个形状大小完全相同的球，球的编号分别为1，2，3，4．
（I）从袋中随机抽取一个球，将其编号记为a，然后从袋中余下的三个球中再随机抽取一个球，将其编号记为b．求关于x的一元二次方程x²+2ax+b²=0有实根的概率；
（II）先从袋中随机取一个球，该球的编号为m，将球放回袋中，然后再从袋中随机取一个球，该球的编号为n．若以（m，n）作为点P的坐标，求点P落在区域内的概率．

19. 难度：中等

如图，四棱锥V-ABCD中，底面ABCD是正方形，侧面VAD是正三角形，平面VAD⊥底面ASCD．设AB=2．
（I）证明：AB⊥平面VAD；
（II）若E是VA上的动点，当面DCE⊥面VAB时，求三棱锥V-ECD的体积．

20. 难度：中等

已知椭圆（a＞b＞0）的离心率e=，短轴长是2．
（I）求椭圆的方程；
（II）斜率为k经过M （O，）的直线与椭圆交于P，Q两点，是否在实数k使成立，若存在，求出k值．若不存在，请说明理由．

21. 难度：中等

已知二次函数g（x）对任意实数x都满足g（x-1）+g（1-x）=x²-2x-1，且g（1）=-1．
（1）求g（x）的表达式；
（2）设1＜m≤e，H（x）=g（x+）+mlnx-（m+1）x+，求证：H（x）在[1，m]上为减函数；
（3）在（2）的条件下，证明：对任意x₁，x₂∈[1，m]，恒有|H（x₁）-H（x₂）|＜1．

22. 难度：中等

如图，AB是⊙O的直径，C，F是⊙O上的点，OC垂直于直径AB，
过F点作⊙O的切线交AB的延长线于D、连接CF交AB于E点，
（1）求证：DE²=DB•DA；
（2）若⊙O的半径为，OB=OE，求EF的长．

23. 难度：中等

选修4一4 坐标系与参数方程
以直角坐标系的原点为极点，x轴的正半轴为极轴，两坐标系中取相同的长度单位．已知直线l：ρcosθ+2ρsinθ=0与曲线C：’（θ为参数）相交于A、B，求弦AB的长度|AB|．

24. 难度：中等

选修4一5：不等式选讲
设函数f（x）=|x-1|+|x-a|．
（I）若a=-1，解不等式，f（x）≥3；
（II）如果对于任意实数x，恒有f（x）≥2成立，求a的取值范围．