2011-2012学年重庆49中高三（下）第一次质量抽测数学试卷（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

若函数y=f（x）的定义域为[-1，1]，那么f（2x-1）的定义域是（ ）
A．[0，1]
B．[-3，1]
C．[-1，1]
D．[-1，0]

2. 难度：中等

已知集合A⊆{2，4，7}，且A中的至多有一个偶数，则这样的集合A共有（ ）
A．3个
B．4个
C．5个
D．6个

3. 难度：中等

6个人站成一排，甲，乙，丙三人必须站在一起的排列的种数为（ ）
A．
B．
C．
D．

4. 难度：中等

已知{a_n}为等差数列，a₁+a₃+a₅=105，a₂+a₄+a₆=99，以S_n表示{a_n}的前n项和，则使得S_n达到最大值的n是（ ）
A．21
B．20
C．19
D．18

5. 难度：中等

已知函数f（x）=（x-a）（x-b）（其中a＞b）的图象如图所示，则函数g（x）=a^x+b^x的图象是（ ）
A．
B．
C．
D．

6. 难度：中等

已知正四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AA₁=2AB，E为AA₁中点，则异面直线BE与CD₁所成角的余弦值为（ ）
A．
B．
C．
D．

7. 难度：中等

已知二次函数f（x）=ax²+bx+1的导函数 为f′（x），f′（0）＞0，f（x）与x轴恰有一个交点，则的最小值为（ ）
A．2
B．
C．3
D．

8. 难度：中等

已知双曲线过点（4，），渐近线方程为y=±x，圆C经过双曲线的一个顶点和一个焦点且圆心在双曲线上，则圆心到该双曲线的中心的距离是（ ）
A．
B．
C．4
D．

9. 难度：中等

在△ABC中，AB=3，BC=，AC=2，若点O为△ABC的内心，则的值为（ ）
A．2
B．
C．3
D．5-

10. 难度：中等

已知f（x）=2012sinx+2011x³，且x∈（-1，1），若f（1-a）+f（1-a²）＜0，则a的取值范围是（ ）
A．（0，2）
B．
C．（-2，0）
D．

二、填空题

11. 难度：中等

若f（x）是奇函数，g（x）是偶函数，且f（x）+g（x）=，则f（x）=    ．

12. 难度：中等

如果的展开式中，第三项含x²，则自然数n为    ．

13. 难度：中等

如图，在半径为3的球面上有A、B、C三点，∠ABC=90°，BA=BC，球心O到平面ABC的距离是，则B、C两点的球面距离是    ．

14. 难度：中等

设直线x-my-1=0与圆（x-1）²+（y-2）²=4相交于A，B两点，且弦AB的长为，则实数m的值是    ．

15. 难度：中等

在平面直角坐标系中，横、纵坐标均为整数的点叫做格点．若函数y=f（x）的图象恰好经过k个格点，则称函数y=f（x）为k阶格点函数．已知下列函数：①；②f（x）=e^x+1；③；④．则其中为一阶格点函数的序号为    ．（写出所有正确命题的序号）

三、解答题

16. 难度：中等

已知函数，且给定条件p：“”，
（1）求f（x）的最大值及最小值
（2）若又给条件q：“|f（x）-m|＜2“且p是q的充分条件，求实数m的取值范围．

17. 难度：中等

盒子中有大小相同的球10个，其中标号为1的球3个，标号为2的球4个，标号为5的球3个，第一次从盒子中任取1个球，放回后第二次再任取1个球（假设取到每个球的可能性都相同）．记第一次与第二次取到球的标号之和为ξ．
（Ⅰ）求随机变量ξ的分布列；
（Ⅱ）求随机变量ξ的期望Eξ．

18. 难度：中等

如图，在三棱锥P-ABC中，PA⊥底面ABC，PA=AB，∠ABC=60°，∠BCA=90°，点D、E分别在棱PB、PC上，且DE∥BC．
（1）求证：BC⊥平面PAC；
（2）当D为PB的中点时，求AD与平面PAC所成的角的正弦值；
（3）是否存在点E使得二面角A-DE-P为直二面角？并说明理由．

19. 难度：中等

已知函数．
（Ⅰ）若曲线y=f（x）在点P（1，f（1））处的切线与直线y=x+2垂直，求函数y=f（x）的单调区间；
（Ⅱ）若对于∀x∈（0，+∞）都有f（x）＞2（a-1）成立，试求a的取值范围；
（Ⅲ）记g（x）=f（x）+x-b（b∈R）．当a=1时，函数g（x）在区间[e^-1，e]上有两个零点，求实数b的取值范围．

20. 难度：中等

设椭圆C：（a，b＞0）的左、右焦点分别为F₁，F₂，若P 是椭圆上的一点，，离心率．
（1）求椭圆C的方程；
（2）若P 是第一象限内该椭圆上的一点，，求点P的坐标；
（3）设过定点P（0，2）的直线与椭圆交于不同的两点A，B，且∠AOB为锐角（其中O为坐标原点），求直线l的斜率k的取值范围．

21. 难度：中等

已知n是正整数，在数列{a_n}中，a₁=1，a_n+1=2a_n+1，在数列{b_n}中，b₁=a₁，
当n≥2时，=++…+．
（I）求数列{a_n}的通项公式：
（II）求-的值：
（III）当n≥2时，证明：．