2012-2013学年江西省景德镇市昌江一中高三（上）第三次月考数学试卷（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

设P={x|x＜1}，Q={x∈Z|x²＜4}，则P∩Q=（ ）
A．{-1，0，1}
B．{-1，0}
C．{x|-1＜x＜2}
D．{x|-2＜x＜1}

2. 难度：中等

设复数Z=a+bi （a＞0，b＞0），将一个骰子连续掷两次，先后得到的点数分别做为a，b，则使复数Z²为纯虚数的概率为（ ）
A．
B．
C．
D．

3. 难度：中等

已知α为第四象限角，且sin（π-α）=-，则tan2α的值为（ ）
A．
B．-
C．
D．-

4. 难度：中等

“λ＜1”是“数列a_n=n²-2λn（n∈N^*）为递增数列”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件

5. 难度：中等

已知向量=（cosα，sinα），=（sinβ，-cosβ），则|+|最大值为（ ）
A．
B．2
C．2
D．4

6. 难度：中等

已知不等式组所表示的平面区域的面积为4，则k的值为（ ）
A．1
B．-3
C．1或-3
D．0

7. 难度：中等

若双曲线-y²=1的一个焦点为（2，0），则它的离心率为（ ）
A．
B．
C．
D．2

8. 难度：中等

图是一个算法的程序框图，该算法输出的结果是（ ）
A．
B．
C．
D．

9. 难度：中等

当函数f（x）满足“对于区间（1，2）上的任意x₁、x₂，有|f（x₁）-f（x₂）|≤|x₁-x₂|恒成立，”则称f（x）为优美函数，若f（x）=，是优美函数，则a的取值范围为（ ）
A．[-1，1]
B．（-1，1 ）
C．[0，1]
D．[0，1）

10. 难度：中等

半径为1的⊙O与直线MN相切于点P，射线PK从PN出发绕点P逆时针方向旋转到PM，PK交⊙O于Q，设∠POQ为x，弓形PmQ面积为S=f（x）图象大致为（ ）

A．
B．
C．
D．

二、填空题

11. 难度：中等

设函数，则=    ．

12. 难度：中等

由曲线 y=，直线 y=x-6 及y轴所围成的图形的面积为    ．

13. 难度：中等

已知函数y=kx+2-k 的图象恒过点P，若P在直线 mx+ny-1=0 （m＞0，n＞0）上，那么log₂m+log₂n的最大值为    ．

14. 难度：中等

如图，已知正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁，则下列四个命题：
（1）P在直线BC₁上运动时，三棱锥A-D₁PC的体积不变；
（2）P在直线BC₁上运动时，直线AP与A₁D所成的角大小不变；
（3）P在直线BC₁上运动时，直线AP与平面ACD₁所成的角大小不变；
（4）M是平面A₁B₁C₁D₁上到直线A₁D₁与直线CC₁距离相等的点，则M点的轨迹是抛物线．
其中，真命题的序号为    ．

15. 难度：中等

（1）若点P（x，y）在曲线（θ为参数 ）上，则使x²+y²取得最大值的点P坐标为    ．
（2）若关于x的不等式|x|+|x-1|＜a 的解集为φ，则a范围为    ．

三、解答题

16. 难度：中等

已知函数f（x）=．
（Ⅰ） 求函数f（x）的最小值和最小正周期；
（Ⅱ）已知△ABC内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且c=3，f（C）=0，若向量与共线，求a，b的值．

17. 难度：中等

已知一个口袋中装有n个红球（n≥1且n∈N₊）和2个白球，从中有放回连续摸三次，每次摸出2个球，若两个球颜色不同，则为中奖．
（1）当n=3时，设中奖次数为ζ，求ζ的分布列及期望；
（2）记三次摸球中，恰好两次中奖概率为P，当n为多少时，P有最大值．

18. 难度：中等

已知数列{a_n}的前n项和为S_n，且a_n是S_n与2的等差中项，数列{a_n}中，b₁=1，点P（b_n，b_n+1）在直线x-y+2=0上．
（Ⅰ） 求数列{a_n}，{b_n}的通项公式a_n和b_n；
（Ⅱ） 设c_n=a_n•b_n，求数列{c_n}的前n项和T_n．

19. 难度：中等

在四棱锥P-ABCD中，PA⊥面ABCD，底面ABCD是直角梯形，AB⊥AD，且AD=AB=2BC=2a．
（1）在棱PA上是否存在点E，使PC∥面EBD，若存在，求出E点位置，并证明．
（2）当PA=3a时，求二面角B-PC-A大小的余弦值．

20. 难度：中等

已知抛物线C：y²=2px，F为C的焦点，F到准线距离为2，直线l过焦点F且与抛物线交于A、B两点．
（1）求•的值．
（2）若=λ，求△ABO面积S的最小值．
（3）在（2）条件下，若S≤，求λ的范围．

21. 难度：中等

f（x）=ln（x+1）-x+x²
（1）当k=2时，求f（x）在点（1，f（1））处的切线方程．
（2）讨论f（x）的单调性．
（3）当k＞0时，方程f（x）=0 在区间[0，1]有2个不同的根，求k范围．