2012-2013学年福建省厦门外国语学校高三（上）第四次段考数学试卷（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

若a、b、c∈R，a＞b，则下列不等式成立的是（ ）
A．
B．a²＞b²
C．
D．a|c|＞b|c|

2. 难度：中等

已知向量=（1，2），=（-3，2），如果k+与-3垂直，那么实数k的值为（ ）
A．-19
B．-
C．
D．19

3. 难度：中等

曲线y=sinx，y=cosx与直线x=0，所围成的平面区域的面积为（ ）
A．
B．
C．
D．

4. 难度：中等

把函数y=sinx x∈R 的图象上所有的点向左平移个单位长度，再把所得图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），得到的图象所表示的函数为（ ）
A． x∈R
B． x∈R
C． x∈R
D． x∈R

5. 难度：中等

已知点P（a，b）（ab≠0）是圆O：x²+y²=r²内一点，直线l的方程为ax+by+r²=0，那么直线l与圆O的位置关系是（ ）
A．相离
B．相切
C．相交
D．不确定

6. 难度：中等

（k＞1）所表示的平面区域为D，若D的面积为S，则的最小值为（ ）
A．24
B．30
C．32
D．64

7. 难度：中等

若一个底面是正三角形的三棱柱的正视图如图所示，其顶点都在一个球面上，则该球的表面积为（ ）

A．
B．
C．
D．

8. 难度：中等

已知定义{x∈R|x≠0}的奇函数f（x）在（0，+∞）上为增函数，且f（2）=0，则不等式的解集为（ ）
A．（-2，0）∪（2，+∞）
B．（-∞，-2）∪（1，2）
C．（-∞，-2）∪（2，+∞）
D．（-2，0）∪（1，2）

9. 难度：中等

偶函数f（x）满足f（x-1）=f（x+1），且在x∈[0，1]时，f（x）=x，则关于x的方程f（x）=，在x∈[0，4]上解的个数是（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4

10. 难度：中等

点P到图形C上每一个点的距离的最小值称为点P到图形C的距离，那么平面内到定圆C的距离与到定点A的距离相等的点的轨迹不可能是（ ）
A．圆
B．椭圆
C．双曲线的一支
D．直线

二、填空题

11. 难度：中等

设，，为单位向量，，的夹角为60°，则（++）•的最大值为    ．

12. 难度：中等

若函数f（x）=sinωx+cosωx（x∈R，ω＞0）满足f（α）=-2，f（β）=0，且|α-β|的最小值为，则函数f（x）的单调增区间为    ．

13. 难度：中等

若函数f（x）=x⁴-ax³+x²-2有且仅有一个极值点，求实数a的取值范围    ．

14. 难度：中等

若f（n）为n²+1（n∈N^*）的各位数字之和，如14²+1=197，1+9+7=17，则f（14）=17，记f₁（n）=f（n），f₂（n）=f〔f₁（n）〕，…，f_k+1（n）=f〔f_k（n）〕，k∈N^*，则f₂₀₁₂（8）=    ．

15. 难度：中等

如图，已知六棱锥P-ABCDEF的底面是正六边形，PA⊥平面ABC．则下列结论不正确的序号是    ．
①CD∥平面PAF
②DF⊥平面PAF
③CF∥平面PAB
④CF⊥平面PAD．

三、解答题

16. 难度：中等

已知数列{ a_n}的前n项和为S_n，a₁=1，S_n+1=4a_n+1，设b_n=a_n+1-2a_n．
（Ⅰ）证明数列{b_n}是等比数列；
（Ⅱ）数列{c_n}满足（n∈N^*），设T_n=c₁c₂+c₂c₃+c₃c₄+，…+c_nc_n+1，求证，对一切n∈N^*不等式恒成立．

17. 难度：中等

图1是某种称为“凹槽”的机械部件的示意图，图2是凹槽的横截面（阴影部分）示意图，其中四边形ABCD是矩形，弧CmD是半圆，凹槽的横截面的周长为4．已知凹槽的强度与横截面的面积成正比，比例系数为，设AB=2x，BC=y．

（1）写出y关于x函数表达式，并指出x的取值范围；
（2）求当x取何值时，凹槽的强度最大．

18. 难度：中等

如图所示，在三棱锥P-ABC中，，平面PAC⊥平面ABC，PD⊥AC于点D，AD=1，CD=3，．
（1）证明△PBC为直角三角形；
（2）求直线AP与平面PBC所成角的正弦值．

19. 难度：中等

已知O为平面直角坐标系的原点，过点M（-2，0）的直线l与圆x²+y²=1交于P，Q两点．
（I）若，求直线l的方程；
（Ⅱ）若△OMP与△OPQ的面积相等，求直线l的斜率．

20. 难度：中等

已知函数f（x）=ax+lnx，其中a为常数，设e为自然对数的底数．
（1）当a=-1时，求f（x）的最大值；
（2）若f（x）在区间（0，e]上的最大值为-3，求a的值；
（3）当a=-1时，试推断方程|f（x）|=是否有实数解．

21. 难度：中等

（选修4-2 矩阵与变换）
变换T是将平面上每个点M（x，y）的横坐标乘2，纵坐标乘4，变到点M'（2x，4y）．
（Ⅰ）求变换T的矩阵；
（Ⅱ）圆C：x²+y²=1在变换T的作用下变成了什么图形？

四、填空题

22. 难度：中等

坐标系与参数方程：
已知极点与原点重合，极轴与x轴的正半轴重合．若曲线c₁的极坐标方程为：5p²-3p²cos2θ-8=0，直线ɛ的参数方程为：（t为参数）．
（Ⅰ）求曲线的直角坐标方程；
（Ⅱ）直线ɛ上有一定点P（1，0），曲线c₁与ɛ交于M，N两点，求|PM|•|PN|的值．

23. 难度：中等

不等式选讲：
已知a，b，c为实数，且a+b+c+2-2m=0，．
（Ⅰ）求证：；
（Ⅱ）求实数m的取值范围．