2012-2013学年江西省南昌三中高二（下）期中数学试卷（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

设i是虚数单位，复数为纯虚数，则实数a为（ ）
A．2
B．-2
C．
D．

2. 难度：中等

在平面上，若两个正三角形的边长之比1：2，则它们的面积之比为1：4，类似地，在空间中，若两个正四面体的棱长之比为1：2，则它的体积比为（ ）
A．1：4
B．1：6
C．1：8
D．1：9

3. 难度：中等

已知，则f（n+1）-f（n）=（ ）
A．
B．
C．
D．

4. 难度：中等

设函数f（x）=x²-2x-4lnx，则f（x）的递增区间为（ ）
A．（0，+∞）
B．（-1，0），（2，+∞）
C．（2，+∞）
D．（0，1）

5. 难度：中等

（e^x+2x）dx等于（ ）
A．1
B．e-1
C．e
D．e²+1

6. 难度：中等

若函数f（x）=x²+bx+c的图象的顶点在第四象限，则函数f′（x）的图象是（ ）
A．
B．
C．
D．

7. 难度：中等

设正数x，y满足log₂（x+y+3）=log₂x+log₂y，则x+y的取值范围是（ ）
A．（0，6]
B．[6，+∞）
C．[1+，+∞）
D．（0，1+]

8. 难度：中等

已知函数f（x）=x²+2x+alnx，若函数f（x）在（0，1）上单调，则实数a的取值范围是（ ）
A．a≥0
B．a＜-4
C．a≥0或a≤-4
D．a＞0或a＜-4

9. 难度：中等

若函数f（x）=，则的值为（ ）
A．
B．
C．
D．

10. 难度：中等

已知函数y=f（x）是定义在R上的奇函数，且当x∈（-∞，0）时不等式f（x）+xf′（x）＜0成立，若a=3^0.3•f（3^0.3），b=（log_π3）•f（log_π3），c=（）•f（）．则a，b，c的大小关系是（ ）
A．a＞b＞c
B．c＞a＞b
C．c＞b＞a
D．a＞c＞b

二、填空题

11. 难度：中等

若f（x）在R上可导，f（x）=x²+2f′（2）x+3，则∫³f（x）dx=    ．

12. 难度：中等

曲线y=x²-3x+2lnx的切线中，斜率最小的切线方程为    ．

13. 难度：中等

函数y=x+2cosx在区间上的最大值是    ．

14. 难度：中等

已知f（n）=1+++…+（n∈N₊，n≥2），经计算得f（4）＞2，f（8），f（16）＞3，f（32），由此可推得一般性结论为    ．

15. 难度：中等

若函数y=在区间（1，4）内为减函数，在区间（6，+∞）内为增函数，则a的取值范围是    ．

三、解答题

16. 难度：中等

计算（1）求积分值：（3x²+4x³）dx
（2）求函数y=+的导数．

17. 难度：中等

求曲线y=x²，直线y=x，y=3x围成的图形的面积．

18. 难度：中等

已知函数f（x）=alnx-ax-3（a∈R）．
（1）求函数f（x）的单调区间；
（2）函数y=f（x）的图象在x=4处的切线的斜率为，若函数g（x）=x³+x²[f′（x）+]在区间（1，3）上不是单调函数，求m的取值范围．

19. 难度：中等

已知a，b，c∈（0，1），求证：（1-a）b，（1-b）c，（1-c）a中至少有一个不大于．

20. 难度：中等

如图，已知曲线C₁：y=x²与曲线C₂：y=-x²+2ax（a＞1）交于点O，A，直线x=t（0＜t≤1）与曲线C₁，C₂分别相交于点D，B，连结OD，DA，AB，OB．
（1）写出曲边四边形ABOD（阴影部分）的面积S与t的函数关系式S=f（t）；
（2）求函数S=f（t）在区间（0，1]上的最大值．

21. 难度：中等

已知函数f（x）=ln（x+1）-．
（1）若函数f（x）在[0，+∞）内为增函数，求正实数a的取值范围．
（2）当a=1时，求f（x）在[-，1]上的最大值和最小值；
（3）试利用（1）的结论，证明：对于大于1的任意正整数n，都有+++…+＜lnn．