2013-2014学年湖南省衡阳市衡阳县六中高三（上）第一次月考数学试卷（文科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

设全集U={1，2，3，4，5，6，7}，P={1，2，3，4，5}，Q={3，4，5，6，7}，则P∩（∁_UQ）=（ ）
A．{1，2}
B．{3，4，5}
C．{1，2，6，7}
D．{1，2，3，4，5}

2. 难度：中等

设复数z₁=1+i，z₂=2+bi，若z₁•z₂为实数，则b=（ ）
A．2
B．1
C．-1
D．-2

3. 难度：中等

已知函数ƒ（x）=则函数f（x）的零点个数为（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4

4. 难度：中等

在等比数列{a_n}中，若a₃a₆=9，a₂a₄a₅=27，则a₂的值为（ ）
A．2
B．3
C．4
D．9

5. 难度：中等

下列有关命题的说法正确的是（ ）
A．命题“若x²=1，则x=1”的否命题为“若x²=1则x≠1”
B．“x=-1”是“x²-5x-6=0”的必要不充分条件
C．命题“若x=y”则“sinx=siny”的逆否命题为真
D．命题“∃x∈R，x²+x+1＜0”的否定是“对任意x∈R，x²+x+1＜0．”

6. 难度：中等

已知函数f（x）=sin（x-）（x∈R），下面结论错误的是（ ）
A．函数f（x）的最小正周期为2π
B．函数f（x）在区间[0，]上是增函数
C．函数f（x）的图象关于直线x=0对称
D．函数f（x）是奇函数

7. 难度：中等

若双曲线-=1（a＞0）的离心率为2，则a=（ ）
A．2
B．
C．
D．1

8. 难度：中等

一个空间几何体的三视图及部分数据如图所示，则这个几何体的体积是（ ）
A．3
B．
C．2
D．

9. 难度：中等

已知f（x），g（x）都是定义在R上的函数，g（x）≠0，f′（x）g（x）＜f（x）g′（x），f（x）=a^xg（x），，在有穷数列{}（n=1，2，…，10）中，任意取前k项相加，则前k项和大于的概率是（ ）
A．
B．
C．
D．

二、填空题

10. 难度：中等

函数y=（0＜a＜1）的定义域是    ．

11. 难度：中等

如图，函数f（x）=2^x，g（x）=x²，若输入的x值为3，则输出的h（x）的值为    ．

12. 难度：中等

函数y=log_a（x-1）+1（a＞0，a≠1）的图象必定经过的点坐标为    ．

13. 难度：中等

已知x，y满足约束条件，则z=2x+4y的最小值是    ．

14. 难度：中等

若不等式1-log＜0有解，则实数a的范围是    ．

15. 难度：中等

若四面体ABCD的三组对棱分别相等，即AB=CD，AC=BD，AD=BC，则    （写出所有正确结论编号）
①四面体ABCD每组对棱相互垂直
②四面体ABCD每个面的面积相等
③从四面体ABCD每个顶点出发的三条棱两两夹角之和大于90°而小于180°
④连接四面体ABCD每组对棱中点的线段互垂直平分
⑤从四面体ABCD每个顶点出发的三条棱的长可作为一个三角形的三边长．

三、解答题

16. 难度：中等

设△ABC的内角A、B、C所对边的长分别为a、b、c，且有2sinBcosA=sinAcosC+cosAsinC．
（Ⅰ）求角A的大小；
（Ⅱ）若b=2，c=1，D为BC的中点，求AD的长．

17. 难度：中等

如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是边长为4的正方形，PA⊥平面ABCD，E为PB中点，PB=4．
（I）求证：PD∥面ACE．
（Ⅱ）求三棱锥E-ABC的体积．

18. 难度：中等

M公司从某大学招收毕业生，经过综合测试，录用了14名男生和6名女生，这20名毕业生的测试成绩如茎叶图所示（单位：分），公司规定：成绩在180分以上者到“甲部门”工作；180分以下者到“乙部门”工作．
（I）求男生成绩的中位数及女生成绩的平均值；
（II）如果用分层抽样的方法从“甲部门”人选和“乙部门”人选中共选取5人，再从这5人中选2人，那么至少有一人是“甲部门”人选的概率是多少？

19. 难度：中等

某工厂有216名工人接受了生产1000台GH型高科技产品的总任务，已知每台GH型产品由4个G型装置和3个H型装置配套组成．每个工人每小时能加工6个G型装置或3个H型装置．现将工人分成两组同时开始加工，每组分别加工一种装置．设加工G型装置的工人有x人，他们加工完G型装置所需时间为g（x），其余工人加工完H型装置所需时间为h（x）（单位：小时，可不为整数）．
（1）写出g（x），h（x）的解析式；
（2）比较g（x）与h（x）的大小，并写出这216名工人完成总任务的时间f（x）的解析式；
（3）应怎样分组，才能使完成总任务用的时间最少？

20. 难度：中等

在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C₁：（a＞b＞0）的左焦点为F₁（-1，0），且点P（0，1）在C₁上．
（1）求椭圆C₁的方程；
（2）设直线l同时与椭圆C₁和抛物线C₂：y²=4x相切，求直线l的方程．

21. 难度：中等

已知函数f（x）=mx³+nx²（m，n∈R，m＞n且m≠0）的图象在（2，f（2））处的切线与x轴平行．
（1）试确定m、n的符号；
（2）若函数y=f（x）在区间[n，m]上有最大值为m-n²，试求m的值．