2006-2007学年上海市卢湾区高二（上）期末数学试卷（解析版）

一、填空题

1. 难度：中等

化简=    ．

2. 难度：中等

若直线l与直线2x+5y-1=0垂直，则直线l的方向向量为    ．

3. 难度：中等

设向量，，，若向量，，，首尾相接能构成四边形，则向量=    ．

4. 难度：中等

有一边长为1的正方形ABCD，，则=    ．

5. 难度：中等

一根铁棒在20°C时长10.4025米，在40°C时长10.4050米．若铁棒长度l和温度t的关系可以用直线方程来表示，则这根铁棒在25°C时的长度为    米．

6. 难度：中等

抛物线y=8x²的焦点坐标为    ．

7. 难度：中等

若点A（1，a）与原点在直线l：x+y-1=0的同侧，则实数a的取值范围为    ．

8. 难度：中等

过椭圆的中心的直线与椭圆交于A、B两点，F₁是椭圆的右焦点，则△ABF₁的面积的最大值为    ．

9. 难度：中等

若双曲线C的两条渐近线的方程为，则该双曲线方程可以为    ．（只需写出一个满足题设的双曲线方程）

10. 难度：中等

下列四个命题；
①直线x•cosθ-y+1=0（θ∈R）的倾斜角的取值范围为[]；
②直线l₁：a₁x+b₁y+c₁=0（a₁²+b₁²≠0）与直线l₂：a₂x+b₂y+c₂=0（a₂²+b₂²≠0），则||=0是直线l₁、l₂平行的必要不充分条件；
③圆C：x²+y²=r²及点P（x，y），若过点P作圆C的两条切线分别交圆C于A、B两点，则过AB的直线方程为xx+yy=r²；
④方程=1不可能表示圆；
其中正确命题的序号为    ．

二、选择题

11. 难度：中等

若点P的坐标为（a，b），曲线C的方程为F（x，y）=0，则F（a，b）=0是点P在曲线C上的（ ）
A．充分非必要条件
B．必要非充分条件
C．充要条件
D．既非充分又非必要条件

12. 难度：中等

若，都是非零向量，且与垂直，则下列行列式的值为零的是（ ）
A．
B．
C．
D．

13. 难度：中等

若直线l是圆的一个切线方程，则直线l的方程可以是（ ）
A．x-y=0
B．x+y=0
C．x=0
D．y=0

14. 难度：中等

设F₁，F₂是双曲线-y²=1的两个焦点，点P在双曲线上，且•=0，则||•||的值等于（ ）
A．2
B．2
C．4
D．8

三、解答题

15. 难度：中等

已知直线l：2ax+ty+3a=0（t≠0，a∈R）经过点（1，-1），求直线l的倾斜角α（结果精确到1°）

16. 难度：中等

设P是圆（x-1）²+y²=4上任意一点，过P作PQ⊥x轴，Q为垂足，求线段PQ的中点M的轨迹方程，并画出图形．

17. 难度：中等

定义：在直角坐标系中，若不在一直线上的三点A、B、C的坐标分别为（x₁，y₁）、（x₂，y₂）、（x₃，y₃），则三角形ABC的面积可以表示为S_△ABC=．已知抛物线y²=4x，过抛物线焦点F斜率为的直线l与抛物线交于A、B两点．
（1）求A、B两点的坐标；
（2）若P（3，0），试用行列式计算三角形面积的方法求四边形APBO的面积S．

18. 难度：中等

已知平面上三个向量的模均为1，它们相互之间的夹角均为120°．
（1）求证：；
（2）若|k|＞1 （k∈R），求k的取值范围．

19. 难度：中等

已知圆锥曲线C：（t≠0且t≠2），其两个不同的焦点F₁、F₂同在x轴上．
（1）试根据t不同的取值范围来讨论C所表示的圆锥曲线；
（2）试在曲线C上求满足的点P的个数，并求出相应的t的取值范围．