2020届山西省吕梁市高三上学期第一次模拟考试数学（理）试卷

一、单选题

1. 难度：简单

已知集合，，则（   ）

A. B.

C. D.

2. 难度：中等

下列函数中，既是奇函数又在其定义域上单调递增的是（   ）

A. B.

C. D.

3. 难度：简单

的充分不必要条件是（   ）

A. B. C. D.

4. 难度：简单

已知为公差不为0的等差数列的前项和，，则（   ）

A.4 B.5 C.6 D.7

5. 难度：简单

已知向量，满足，则（   ）

A. B. C. D.1

6. 难度：简单

已知函数的部分图像如下，判断函数解析式为（   ）

A. B.

C. D.

7. 难度：中等

被誉为“中国现代数学之父”的著名数学家华罗庚先生倡导的“0.618优选法”在生产和科研实践中得到了非常广泛的应用.0.618就是黄金分割比的近似值，黄金分割比还可以表示成，则（    ）

A.4 B. C.2 D.

8. 难度：中等

已知，则（   ）

A. B. C. D.

9. 难度：中等

已知直线与圆相交的弦长为，则的取值范围为（   ）

A. B. C. D.

10. 难度：中等

若直线与函数的图像恰好有2个不同的公共点，则的取值范围为（   ）

A. B.

C. D.

11. 难度：中等

如图四面体中，，截面四边形满足，则下列结论正确的个数为（   ）

①四边形的周长为定值

②四边形的面积为定值

③四边形为矩形

④四边形的面积有最大值1

A.0 B.1 C.2 D.3

12. 难度：中等

已知数列中，，数列的前99项和（   ）

A. B. C. D.

二、填空题

13. 难度：中等

设变量满足约束条件，则目标函数的最小值为__________.

14. 难度：简单

函数在点处的切线方程为，则_____，____.

15. 难度：中等

已知三棱锥的四个顶点都在球O的球面上，，，，，E，F分别为，的中点，，则球O的体积为______.

16. 难度：中等

函数，则如下结论正确的序号是__________.

①当时，若图像的对称轴为，则；

②当时，若的图像向右平移单位长度后关于原点对称，则；

③当时，若的图像在区间内有且仅有一条对称轴，则的取值范围为；

④当时，若集合含有2020个元素，则的取值范围为.

三、解答题

17. 难度：简单

已知的内角A､B､C的对边分别为a､b､c，若.

（1）求C的值；

（2）若，，求的面积.

18. 难度：中等

如图三棱柱中，平面.

（1）证明：平面；

（2）求与平面所成的角的正弦值.

19. 难度：中等

已知数列满足，.

（1）求数列的通项公式；

（2）为数列的前n项和，求证：.

20. 难度：中等

如图正方形纸片的边长为，中心为，正方形的中心也是，，，，分别是以为底边的等腰三角形，沿虚线剪开后，分别以，，，为折痕折起，，，，使得重合于点，得到四棱锥，设正方形的边长为.

 

（1）用表示四棱锥的体积；

（2）当最大时，求四棱锥的表面积.

21. 难度：中等

已知两定点，，点P满足.

（1）求点P的轨迹C的方程；

（2）若，直线l与轨迹C交于A，B两点，，的斜率之和为2，问直线l是否恒过定点，若过定点，求出定点的坐标；若不过定点，请说明理由.

22. 难度：中等

已知函数的最大值为1.

（1）求的值；

（2）证明：