2020届湖南师范大学附属中学高三上学期第三次月考数学（理）试卷

一、单选题

1. 难度：简单

已知集合,,则(    )

A. B. C. D.

2. 难度：简单

已知欧拉公式(i为虚数单位),则根据欧拉公式表示的复数在复平面位于(    )

A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限

3. 难度：简单

已知函数,则(    )

A.3 B.4 C.5 D.

4. 难度：简单

已知,且,则(    )

A.0 B. C. D.1

5. 难度：简单

的展开式中的系数为(    )

A.31 B.32 C.36 D.40

6. 难度：简单

函数的大致图象是(    )

A. B.

C. D.

7. 难度：简单

等腰直角三角形ABC中,,点D为斜边BC上的三等分点,且,则(    )

A.0 B. C.2 D.

8. 难度：简单

已知数列为等差数列,其前n项和为,且,,若,并设数列的前n项和为,则(    )

A. B.0 C. D.

9. 难度：中等

已知函数是奇函数,且在上单调递减.则的最大值是(    )

A. B. C. D.2

10. 难度：简单

已知F是双曲线的右焦点,P是双曲线的左顶点,过点F且与x轴垂直的直线交双曲线于A,B两点,若,则该双曲线的离心率e的取值范围为(    )

A. B. C. D.

11. 难度：中等

已知函数是定义在或上的偶函数,且时,.若函数,则满足不等式的实数a的取值范围是(    )

A. B. C. D.

12. 难度：中等

已知函数,函数的图象在,处的切线平行,则的取值范围为(    )

A. B. C. D.

二、填空题

13. 难度：简单

已知x,y满足,则目标函数的取值范围为________.

14. 难度：简单

过抛物线的焦点F的直线交抛物线于A,B两点,若,则________.

15. 难度：中等

已知球O是棱长为1的正方体的外接球,则平面截球O的截面面积是________.

16. 难度：困难

在锐角中，，，则中线AD长的取值范围是_______;

三、解答题

17. 难度：简单

设函数.

(1)求函数的最小正周期T和单调递减区间;

(2)在锐角中,内角A,B,C的对边分别是a,b,c,且,求的取值范围.

18. 难度：简单

如图,在三棱锥中,为等腰直角三角形,为等边三角形,其中O为BC中点,且.

(1)求证:平面平面PBC;

(2)若且平面EBC,其中E为AP上的点,求CE与平面ABC所成角的正弦值.

19. 难度：中等

中国大学先修课程，是在高中开设的具有大学水平的课程，旨在让学有余力的高中生早接受大学思维方式、学习方法的训练，为大学学习乃至未来的职业生涯做好准备.某高中开设大学先修课程已有两年，两年共招收学生2000人，其中有300人参与学习先修课程，两年全校共有优等生200人，学习先修课程的优等生有60人.这两年学习先修课程的学生都参加了考试，并且都参加了某高校的自主招生考试，结果如下表所示：

分数
人数	20	55	105	70	50
参加自主招生获得通过的概率	0.9	0.8	0.6	0.5	0.4

（1）填写列联表，并画出列联表的等高条形图，并通过图形判断学习先修课程与优等生是否有关系，根据列联表的独立性检验，能否在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为学习先修课程与优等生有关系？

	优等生	非优等生	总计
学习大学先修课程
没有学习大学先修课程
总计

（2）已知今年有150名学生报名学习大学先修课程，以前两年参加大学先修课程学习成绩的频率作为今年参加大学先修课程学习成绩的概率.

①在今年参与大学先修课程的学生中任取一人，求他获得某高校自主招生通过的概率；

②设今年全校参加大学先修课程的学生获得某高校自主招生通过的人数为，求.

参考数据：

	0.15	0.10	0.05	0.025	0.010	0.005
	2.072	2.706	3.841	5.024	6.635	7.879

参考公式：，其中.

20. 难度：中等

已知椭圆的左,右焦点分别是,,离心率为,直线被椭圆C截得的线段长为.

(1)求椭圆C的方程;

(2)过点且斜率为k的直线l交椭圆C于A,B两点,交x轴于P点,点A关于x轴的对称点为M,直线BM交x轴于Q点.求证:(O为坐标原点)为常数.

21. 难度：中等

已知函数有两个不同零点,.

(1)求a的取值范围;

(2)证明:当时,.

22. 难度：简单

在直角坐标系xOy中,以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C的极坐标方程为,直线l的参数方程为(t为参数,).

(1)写出直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方程;

(2)若直线l与曲线C交于A,B两点,直线l的倾斜角,P点坐标为,求的最小值.

23. 难度：简单

已知函数.

(1)当时,解不等式;

(2)若对任意的,不等式恒成立,求a的取值范围.