2020届广东省中山市高三上学期第一次质量检测数学（文）试卷

一、单选题

1. 难度：简单

设复数，，则在复平面内对应的点位于（    ）

A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限

2. 难度：简单

设集合，，则（    ）

A. B. C. D.

3. 难度：简单

已知函数，则（    ）

A.8 B.5 C.17 D.11

4. 难度：简单

已知函数 是定义在上的奇函数，当时，，则(  )

A.9 B.-9 C.45 D.-45

5. 难度：简单

下列叙述正确的是（    ）

A.若，则

B.方程表示的曲线是椭圆

C.是“数列为等比数列”的充要条件

D.若命题，则

6. 难度：简单

已知双曲线的离心率为，则双曲线的焦距为（）

A.4 B.5 C.8 D.10

7. 难度：中等

如果奇函数在区间上是增函数，且最小值为，那么在区间上是

A.增函数且最小值为 B.增函数且最大值为

C.减函数且最小值为 D.减函数且最大值为

8. 难度：简单

当0<a<b<1时，下列不等式正确的是

A.>（1－a）^b B.（1＋a）^a>（1＋b）^b

C.（1－a）^b> D.（1－a）^a>（1－b）^b

9. 难度：中等

已知是三个不重合的平面，是直线，给出下列命题：①若，则；②若上两点到的距离相等，则；③若，则；④若，且，则.其中正确的命题是（   ）

A.①② B.②③ C.②④ D.③④

10. 难度：中等

已知奇函数的定义域为，若为偶函数，且，则（    ）

A. B. C. D.

11. 难度：中等

已知三棱锥的所有顶点都在球的球面上，平面，，，若球的表面积为，则三棱锥的体积的最大值为（    ）

A. B. C. D.

12. 难度：中等

若函数是R上的单调递增函数，则实数a的取值范围是（   ）

A. B.（1,8） C.（4,8） D.

二、填空题

13. 难度：中等

函数，则 ______．

14. 难度：简单

如图，直三棱柱的主视图是边长为2的正方形，且俯视图为一个等边三角形，则该三棱柱的左视图面积为___________.

15. 难度：中等

抛物线y²=8x上一点M（x₀，y₀）到其焦点的距离为6，则点M到坐标原点O的距离为______．

16. 难度：中等

已知函数，对任意，且，都有，则实数的取值范围是______.

三、解答题

17. 难度：中等

如图，直三棱柱的底面是边长为2的正三角形，分别是的中点．

（１）证明：平面平面；

（２）若直线与平面所成的角为，求三棱锥的体积．

18. 难度：中等

经过多年的运作，“双十一”抢购活动已经演变成为整个电商行业的大型集体促销盛宴.为迎接2014年“双十一”网购狂欢节，某厂家拟投入适当的广告费，对网上所售产品进行促销.经调查测算，该促销产品在“双十一”的销售量p万件与促销费用x万元满足(其中，a为正常数)．已知生产该产品还需投入成本万元(不含促销费用)，产品的销售价格定为

元／件，假定厂家的生产能力完全能满足市场的销售需求．

(1)将该产品的利润y万元表示为促销费用x万元的函数；

(2)促销费用投入多少万元时，厂家的利润最大？

19. 难度：简单

如图，在三棱锥中，平面平面，为等边三角形，且，，分别为，的中点．

（1）求证：平面；

（2）求直线和平面所成角的正切值；

（3）求三棱锥的体积．

20. 难度：困难

已知抛物线和动直线.直线交抛物线于两点，抛物线在处的切线的交点为.

（1）当时，求以为直径的圆的方程；

（2）求面积的最小值.

21. 难度：困难

已知函数，.

（1）若，求的最大值；

（2）当时，求证：.

22. 难度：简单

在平面直角坐标系中，圆的圆心为，半径为，现以原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系.

（1）求圆的极坐标方程；

（2）设，是圆上两个动点，满足，求的最小值.

23. 难度：中等

已知函数，，

（Ⅰ）若不等式恒成立，求实数的取值范围；

（Ⅱ）求不等式的解集.

24. 难度：中等

对于函数，若存在实数，使成立，则称为的不动点.

（1）当，时，求的不动点；

（2）若对于任何实数，函数恒有两相异的不动点，求实数的取值范围；

（3）在（2）的条件下，若的图象上、两点的横坐标是函数的不动点，且直线是线段的垂直平分线，求实数的最小值.