江苏省南通市2019-2020学年高二上学期期末数学试卷

一、单选题

1. 难度：简单

圆与圆的位置关系是（    ）

A.相离 B.外切 C.相交 D.内切

2. 难度：简单

“”是“为2与8的等比中项”的（    ）

A.充分不必要条件 B.必要不充分条件

C.充要条件 D.既不充分也不必要条件

3. 难度：简单

下列命题中，不正确的是（    ）

A.若，，则 B.若，则

C.若，则 D.若，则

4. 难度：中等

在等差数列中，首项，公差，前n项和为，且满足，则的最大项为（　　　　）

A. B. C. D.

5. 难度：简单

若两个正实数x，y满足，且不等式有解，则实数m的取值范围是（    ）

A. B.

C. D.

6. 难度：简单

在三棱锥P－ABC中，PA⊥平面ABC，∠BAC＝90°，D、E、F分别是棱AB、BC、CP的中点，AB＝AC＝1，PA＝2，则直线PA与平面DEF所成角的正弦值为( )

A. B. C. D.

7. 难度：简单

双曲线的一个焦点与抛物线的焦点重合，若这两曲线的一个交点满足轴，则（       ）

A. B. C. D.

8. 难度：中等

已知F是椭圆的左焦点，P为椭圆C上任意一点，点，则的最大值为　　

A. B. C. D.

二、多选题

9. 难度：简单

在下列函数中，最小值是2的函数有（    ）

A. B.

C. D.

10. 难度：简单

下面命题正确的是（    ）

A.“”是“”的充分不必要条件

B.命题“任意，则”的否定是“存在，则”.

C.设，则“且”是“”的必要而不充分条件

D.设，则“”是“”的必要不充分条件

11. 难度：中等

如图,在棱长均相等的四棱锥中, 为底面正方形的中心, ,分别为侧棱,的中点,有下列结论正确的有：(  )

A.∥平面 B.平面∥平面

C.直线与直线所成角的大小为 D.

12. 难度：中等

将个数排成行列的一个数阵，如下图：

该数阵第一列的个数从上到下构成以为公差的等差数列，每一行的个数从左到右构成以为公比的等比数列（其中）.已知，，记这个数的和为.下列结论正确的有（    ）

A. B.

C. D.

三、填空题

13. 难度：简单

命题“∃x₀∈R, ”为假命题，则实数a的取值范围是________．

14. 难度：简单

点满足，则点P的轨迹为__________，离心率为________．

15. 难度：中等

设双曲线的左右焦点分别为，过的直线分别交双曲线左右两支于点M、N.若以MN为直径的圆经过点且，则双曲线的离心率为________.

16. 难度：中等

已知圆，点是圆上一动点，若在圆上存在点，使得，则正数的最大值为________.

四、解答题

17. 难度：简单

已知集合，集合，.

（1）若“”是真命题，求实数取值范围；

（2）若“”是“”的必要不充分条件，求实数的取值范围.

18. 难度：简单

已知椭圆的长轴长为，短轴长为．

(1)求椭圆方程；

(2)过作弦且弦被平分，求此弦所在的直线方程及弦长．

19. 难度：简单

某企业用180万元购买一套新设备，该套设备预计平均每年能给企业带来100万元的收入，为了维护设备的正常运行，第一年需要各种维护费用10万元，且从第二年开始，每年比上一年所需的维护费用要增加10万元

（1）求该设备给企业带来的总利润（万元）与使用年数的函数关系；

（2）试计算这套设备使用多少年，可使年平均利润最大？年平均利润最大为多少万元？

20. 难度：中等

如图，长方体ABCD–A₁B₁C₁D₁的底面ABCD是正方形，点E在棱AA₁上，BE⊥EC₁.

（1）证明：BE⊥平面EB₁C₁；

（2）若AE=A₁E，求二面角B–EC–C₁的正弦值.

21. 难度：中等

设数列、都有无穷项，的前项和为，是等比数列，且.

（1）求和的通项公式；

（2）记，求数列的前项和为.

22. 难度：困难

在平面直角坐标系中，椭圆的离心率为,直线被椭圆截得的线段长为.

（1）求椭圆的方程；

（2）过原点的直线与椭圆交于两点（不是椭圆的顶点），点在椭圆上，且，直线与轴轴分别交于两点.

①设直线斜率分别为，证明存在常数使得，并求出的值；

②求面积的最大值.