2020届河北省高三上学期七调考试数学（理）试卷

一、单选题

1. 难度：简单

已知集合，，若，则的子集个数为（    ）

A.2 B.4 C.6 D.8

2. 难度：简单

已知复数，则对应的点位于复平面的（    ）

A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限

3. 难度：简单

设为奇函数，当时，，则（    ）

A. B. C. D.

4. 难度：简单

设为等比数列，为等差数列，且为数列的前项和若，，且，则（    ）

A.20 B.30 C.44 D.88

5. 难度：简单

设是两个不同的平面，是两条不同的直线，下列说法正确的是（    ）

A.若，，，则

B.若，，则

C.若，，则

D.若，，，则

6. 难度：简单

如图是数学界研究的弓月形的一种，是以为直径的圆的内接正六边形的三条邻边，四个半圆的直径分别是，在整个图形中随机取一点，则此点取自阴影部分的概率是（    ）

A. B. C. D.

7. 难度：中等

已知函数的部分图象如图所示，则的解析式可以为（    ）

A. B.

C. D.

8. 难度：中等

已知向量，向量在方向上的投影为，若，则实数的值为（    ）

A. B. C. D.3

9. 难度：简单

已知双曲线的一条渐近线与轴所形成的锐角为，则双曲线的离心率为（    ）

A. B. C.2 D.或2

10. 难度：困难

设正方体的棱长为，为的中点，为直线上一点，为平面内一点，则，两点间距离的最小值为（    ）

A.  B.  C.  D.

11. 难度：困难

已知直线与直线相交于点，线段是圆的一条动弦，且，则的最大值为（    ）

A. B. C. D.

12. 难度：困难

已知不等式（，且）对任意实数恒成立，则的最大值为（    ）

A. B. C. D.

二、填空题

13. 难度：简单

已知，则的结果为____.

14. 难度：简单

设样本数据的方差是5，若，则的方差为_______

15. 难度：简单

某单位在庆祝新年的联欢晚会中，要安排一个有6个节目的节目单，要求歌曲和舞蹈相邻，且歌曲要排在舞蹈的前面；歌曲和舞蹈不相邻，且歌曲和舞蹈均不排在最后，则这6个节目的排法有____种.

16. 难度：中等

在边长为的菱形中，，沿对角线折起，使二面角的大小为，这时点在同一个球面上，则该球的表面积为____.

三、解答题

17. 难度：中等

已知向量，，设函.在中，角的对边分别是，.

（1）求的大小；

（2）若，，求的大小.

18. 难度：中等

如图，是半圆的直径，是半圆上除点外的一个动点，垂直于所在的平面，垂足为，，且，.

（1）证明：平面平面；

（2）当为半圆弧的中点时，求二面角的余弦值.

19. 难度：中等

2019年是中华人民共和国成立70周年．为了让人民了解建国70周年的风雨历程，某地的民调机构随机选取了该地的100名市民进行调查，将他们的年龄分成6段：，，…，，并绘制了如图所示的频率分布直方图．

（1）现从年龄在，，内的人员中按分层抽样的方法抽取8人，再从这8人中随机选取3人进行座谈，用表示年龄在）内的人数，求的分布列和数学期望；

（2）若用样本的频率代替概率，用随机抽样的方法从该地抽取20名市民进行调查，其中有名市民的年龄在的概率为．当最大时，求的值．

20. 难度：中等

已知椭圆的右焦点为，过的直线交椭圆于两点(直线与坐标轴不垂直)，若的中点为，为坐标原点，直线交直线于.

(Ⅰ)求证：；(Ⅱ)求的最大值.

21. 难度：困难

已知函数.

（1）若不等式在区间上有解，求实数的取值范围；

（2）已知函数，，若是的极大值点，求的取值范围.

22. 难度：中等

在直角坐标系中，设倾斜角为的直线（为参数）与曲线（为参数）相交于不同的两点.

（1）若，求线段中点的坐标；

（2）若，其中，求直线的斜率.

23. 难度：中等

已知函数.

（1）若，解不等式；

（2）若，求的最小值.