上海市2019-2020学年高二上学期期末数学试卷

一、填空题

1. 难度：简单

复数满足，则_________.

2. 难度：简单

抛物线的焦点坐标是___________．

3. 难度：简单

若（为虚数单位，）且，则的值为_________.

4. 难度：简单

直线（参数）的倾斜角为_________.

5. 难度：简单

若方程表示的曲线为双曲线，则实数的取值范围为_________.

6. 难度：简单

若双曲线的渐近线方程为，且过点，则双曲线的方程是_________.

7. 难度：简单

点为直线上的动点，点为圆上的动点，则的最小值为_________.

8. 难度：简单

已知是椭圆的两个焦点，为椭圆上的一点，且，若的面积为，则_________.

9. 难度：简单

已知,,若直线=与直线=互相垂直,则的最大值等于________.

10. 难度：中等

已知曲线上一动点，曲线与直线交于点，则的最大值是_________.

11. 难度：困难

在平面直角坐标系xOy中，设定点A(a，a)，P是函数y＝ (x>0)图象上一动点．若点P，A之间的最短距离为2，则满足条件的实数a的所有值为________．

12. 难度：中等

如图，已知椭圆和圆，设点为椭圆上的任一点，过作圆的两条切线，分别交于椭圆于两点，若直线与圆相切，则_________.

二、单选题

13. 难度：简单

设为非零复数，则“”是“”的（    ）

A.充分非必要条件 B.必要非充分条件

C.充要条件 D.既非充分也非必要条件

14. 难度：简单

如图，与复平面中的阴影部分（含边界）对应的复数集合（    ）

A. B.

C. D.

15. 难度：简单

过抛物线的焦点作一条直线与抛物线相交于两点，它们的横坐标之和等于，则这样的直线（    ）

A.有且仅有一条 B.有且仅有两条 C.有无穷多条 D.不存在

16. 难度：中等

曲线，要使直线与曲线有四个不同的交点，则实数的取值范围是（    ）

A. B. C. D.

三、解答题

17. 难度：简单

已知实系数一元二次方程的一根为（为虚数单位），另一根为复数.

（1）求复数，以及实数的值；

（2）设复数的一个平方根为，记在复平面上对应点分别为，求的值.

18. 难度：中等

如图，某野生保护区监测中心设置在点处，正西、正东、正北处有三个监测点，且，一名野生动物观察员在保护区遇险，发出求救信号，三个监测点均收到求救信号，点接收到信号的时间比点接收到信号的时间早秒（注：信号每秒传播千米）.

（1）以为原点，直线为轴建立平面直角坐标系（如题），根据题设条件求观察员所有可能出现的位置的轨迹方程；

（2）若已知点与点接收到信号的时间相同，求观察员遇险地点坐标，以及与检测中心的距离；

（3）若点监测点信号失灵，现立即以监测点为圆心进行“圆形”红外扫描，为保证有救援希望，扫描半径至少是多少公里？

19. 难度：中等

已知椭圆，过点的直线与椭圆交于两点（点在点的右侧），与轴交于点；

（1）当且时，求点的坐标；

（2）当时，设，求证：为定值，并求出该值.

20. 难度：中等

设抛物线，满足，过点作抛物线的切线，切点分别为.

（1）求证：直线与抛物线相切；

（2）若点坐标为，点在抛物线的准线上，求点的坐标；

（3）设点在直线上运动，直线是否恒过定点？若恒过定点，求出定点坐标；若不存在，请说明理由；

21. 难度：困难

已知椭圆.双曲线的实轴顶点就是椭圆的焦点，双曲线的焦距等于椭圆的长轴长.

（1）求双曲线的标准方程；

（2）设直线经过点与椭圆交于两点，求的面积的最大值；

（3）设直线（其中为整数）与椭圆交于不同两点，与双曲线交于不同两点，问是否存在直线，使得向量，若存在，指出这样的直线有多少条？若不存在，请说明理由.