北京市2019-2020学年高二上学期期中考试数学试卷

一、单选题

1. 难度：简单

已知.下列不等式恒成立的是(    )

A. B. C. D.

2. 难度：简单

等差数列中，，，则公差等于(    )

A.2 B. C. D.

3. 难度：简单

椭圆的焦距和离心率分别为(    )

A.2和 B.1和 C.2和 D.1和

4. 难度：简单

等比数列中，，，则的值为(    )

A. B. C. D.

5. 难度：简单

若双曲线的实轴长为2，则其渐近线方程为(    )

A. B. C. D.

6. 难度：困难

已知的斜边长为2.则下列关于的说法中，正确的是(    )

A.周长的最大值为 B.周长的最小值为

C.面积的最大值为2 D.面积的最小值为1

7. 难度：中等

已知抛物线的准线被双曲线截得的弦长为6，则该抛物线的焦点坐标是(    )

A. B. C. D.

8. 难度：困难

已知平面区域，若圆与轴和直线均相切，且圆心，则的最小值为(    )

A.0 B. C. D.

二、填空题

9. 难度：简单

等差数列的前项和为，若，，则______.

10. 难度：简单

已知双曲线的一条渐近线为，则双曲线的离心率为________.

11. 难度：中等

等比数列中，，且，则________.

12. 难度：中等

已知，，，则表示内部区域（含边界）的不等式组为______.

13. 难度：中等

已知直线与抛物线交于两个不同点，为坐标原点，若，则的值为_______.

14. 难度：困难

已知数列满足（为常数，，，），给出下列四个结论：①若数列是周期数列，则周期必为2：②若，则数列必是常数列：③若，则数列是递增数列：④若，则数列是有穷数列，其中，所有错误结论的序号是________.

三、解答题

15. 难度：困难

等比数列的前项和为，已如,,.

(1)求和；

(2）证明：对任意，.

16. 难度：困难

某商家耗资4500万元购进一批（虚拟现实）设备，经调试后计划明年开始投入使用，由于设备损耗和维护，第一年需维修保养费用200万元，从第二年开始，每年的维修保并费用比上一年增40万元.该设备使用后，每年的总收入为2800万元.

(1)求盈利额（万元）与使用年数之间的函数关系式；

(2)该设备使用多少年，商家的年平均盈利额最大？最大年平均盈利额是多少？

17. 难度：困难

已知椭圆的离心率为，过右焦点作两条互相垂直的直线，分别交椭圆于和四点.设的中点为.

(1)求椭圆的方程；

(2)直线是否经过定点？若是，求出定点坐标；若否，请说明理由.

四、多选题

18. 难度：困难

下列结论中，所有正确的结论有(    )

A.若，则 B.若，则

C.当时 ， D.若，，则

19. 难度：困难

已知数列，均为递增数列，的前项和为，的前项和为.且满足，，则下列说法正确的有(    )

A. B. C. D.

20. 难度：困难

已知点是双曲线的右支上一点，双曲线的左、右焦点，的面积为20，则下列说法正确的有(    )

A.点的横坐标为 B.的周长为

C.小于 D.的内切圆半径为

五、填空题

21. 难度：困难

已知椭圆上存在相异两点关于直线对称，请写出两个符合条件的实数的值______．

22. 难度：困难

已知.用数学归纳法证明，请补全证明过程：(1)当时，；(2)假设时命题成立，即，则当时，______，即当时，命题成立.综上所述，对任意，都有成立.

23. 难度：困难

曲线是平面内到定点的距离与到定直线的距离之和为8的动点的轨迹，则点的横坐标的取值范围是_______；曲线上的点到原点的最小距离是________.

六、解答题

24. 难度：困难

正整数数列的前项和为，前项积，若，则称数列为“数列”.

(1)判断下列数列是否是数列，并说明理由；①2，2，4，8；②8，24，40，56

(2)若数列是数列，且.求和；

(3)是否存在等差数列是数列？请阐述理由.