2020届黑龙江省哈尔滨市高三综合题（二）数学（理）试卷

一、单选题

1. 难度：中等

集合，，则为(    )

A. B. C. D.

2. 难度：中等

设为公差为的无穷等差数列的前项和，则“”是“数列有最大项”的(    )

A.充要条件 B.充分不必要条件

C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件

3. 难度：中等

中，，，若，则角C为（    ）

A. B. C. D.

4. 难度：中等

已知，则展开式中的常数项为（    ）

A.20 B. C. D.15

5. 难度：中等

正三棱柱的所有棱长都为2，则异面直线与所成角的余弦值为(    )

A. B. C. D.

6. 难度：中等

已知函数，其图象相邻的两条对称轴方程为与，则(    )

A.的最小正周期为，且在上为单调递增函数

B.的最小正周期为，且在上为单调递减函数

C.的最小正周期为，且在上为单调递增函数

D.的最小正周期为，且在上为单调递减函数

7. 难度：简单

2019年10月1日在庆祝中华人民共和国成立70周年大阅兵的徒步方队中，被誉为“最强大脑”的院校科研方队队员分别由军事科学院、国防大学、国防科技大学三所院校联合抽组，已知军事科学学院的甲、乙、丙三名同学被选上的概率分别为，，，这三名同学中至少有一名同学被选上的概率为（    ）

A. B. C. D.

8. 难度：简单

过抛物线的焦点的直线与抛物线在第一象限的交点为，直线与抛物线的准线的交点为，点在抛物线在准线上的射影为，若，，则抛物线的方程为(    )

A. B. C. D.

9. 难度：简单

在平行四边形ABCD中，＝，＝2，联结CE，DF相交于点M，若＝λ＋μ，则实数λ与μ的乘积为( )

A. B. C. D.

10. 难度：中等

《九章算术》第三章“衰分”介绍比例分配问题，“衰分”是按比例递减分配的意思，通常称递减的比例为“衰分比”.如：已知，，三人分配奖金的衰分比为，若分得奖金1000元，则，所分得奖金分别为800元和640元.某科研所四位技术人员甲、乙、丙、丁攻关成功，共获得单位奖励68780元，若甲、乙、丙、丁按照一定的“衰分比”分配奖金，且甲与丙共获得奖金36200元，则“衰分比”与丁所获得的奖金分别为(    )

A.，14580元 B.，14580元

C.，10800元 D.，10800元

11. 难度：困难

已知函数的两个极值点分别为，，且，，记分别以，为横、纵坐标的点表示的平面区域为，若函数的图象上存在区域内的点，则实数的取值范围为(    )

A. B. C. D.

12. 难度：困难

设点在曲线上，点在曲线上，则的最小值为(    )

A. B. C. D.

二、填空题

13. 难度：简单

若复数，则______.

14. 难度：中等

已知双曲线(a＞0，b＞0)的右焦点为F，由F向其渐近线引垂线，垂足为P，若线段PF的中点在此双曲线上，则此双曲线的离心率为________．

15. 难度：中等

已知中，的对边分别为，若，则的周长的取值范围是__________．

16. 难度：中等

已知平面区域，直线和曲线有两个不同的交点，直线与曲线围成的平面区域为，向区域内随机投一点，点落在区域内的概率为，若，则实数的取值范围是           .

三、解答题

17. 难度：简单

已知正项数列满足4S_n=a_n²+2a_n+1．

（1）求数列{a_n}的通项公式；

（2）设b_n= ，求数列{b_n}的前n项和T_n．

18. 难度：中等

从某学校高三年级共1000名男生中随机抽取50人测量身高.据测量，被测学生身高全部介于155cm到195cm之间，将测量结果按如下方式分成八组：第一组，第二组，…，第八组.下图是按上述分组方法得到的频率分布直方图的一部分.其中第六组、第七组、第八组人数依次构成等差数列.

（1）求第六组、第七组的频率，并估计高三年级全体男生身高在180cm以上（含180cm）的人数；

（2）学校决定让这五十人在运动会上组成一个高旗队，在这五十人中要选身高在180cm以上（含180cm）的三人作为队长，记X为身高在的人数，求X的分布列和数学期望.

19. 难度：中等

在四棱锥中，，，，，分别为的中点，.

（1）求证：平面平面；

（2）设，若平面与平面所成锐二面角，求的取值范围.

20. 难度：困难

已知函数.

（1）若函数满足，且在定义域内恒成立，求实数b的取值范围；

（2）若函数在定义域上是单调函数，求实数a的取值范围.

21. 难度：中等

已知动圆与圆：相切，且与圆：相内切，记圆心的轨迹为曲线.设为曲线上的一个不在轴上的动点，为坐标原点，过点作的平行线交曲线于,两个不同的点.

（Ⅰ）求曲线的方程；

（Ⅱ）试探究和的比值能否为一个常数？若能，求出这个常数，若不能，请说明理由；

（Ⅲ）记的面积为，的面积为，令，求的最大值.

22. 难度：中等

在极坐标系中，已知直线l的极坐标方程为，圆C的圆心是，半径为．

（Ⅰ）求圆C的极坐标方程；

（Ⅱ）求直线l被圆C所截得的弦长

23. 难度：中等

设函数．

（Ⅰ）解不等式；

（Ⅱ）已知关于x的不等式恒成立，求实数a的取值范围．