2020届四川省高三下学期第一次在线月考数学（理）试卷

一、单选题

1. 难度：简单

（2017·成都市二诊）已知集合，，则（   ）

A. B. C. D.

2. 难度：简单

已知复数是纯虚数，其中是实数，则等于（  ）

A. B. C. D.

3. 难度：简单

（2017·合肥市质检）某校高三年级共有学生900人，编号为1，2，3，…，900，现用系统抽样的方法抽取一个容量为45的样本，则抽取的45人中，编号落在区间的人数为（   ）

A.10 B.11 C.12 D.13

4. 难度：简单

已知双曲线的焦距为，且两条渐近线互相垂直，则该双曲线的实轴长为（  ）

A. 2 B. 4 C. 6 D. 8

5. 难度：中等

下列表格所示的五个散点，原本数据完整，且利用最小二乘法求得这五个散点的线性回归直线方程为y=0.8x-155，后因某未知原因第五组数据的y值模糊不清，此位置数据记为m（如下所示），则利用回归方程可求得实数m的值为（    ）

x	196	197	200	203	204
y	1	3	6	7	m

A.8.3 B.8 C.8.1 D.8.2

6. 难度：简单

函数的部分图像如图所示，则的值为（    ）

A. B. C. D.

7. 难度：简单

已知，，，则，，的大小关系为（  ）

A. B. C. D.

8. 难度：简单

某校组织由5名学生参加的演讲比赛，采用抽签法决定演讲顺序，在“学生和都不是第一个出场，不是最后一个出场”的前提下，学生第一个出场的概率为（ ）

A. B. C. D.

9. 难度：中等

已知是抛物线的焦点，过点的直线与抛物线交于，两点，为线段的中点，若，则直线的斜率为(  )

A.3 B.1 C.2 D.

10. 难度：简单

德国大数学家高斯年少成名，被誉为数学届的王子，19岁的高斯得到了一个数学史上非常重要的结论，就是《正十七边形尺规作图之理论与方法》，在其年幼时，对的求和运算中，提出了倒序相加法的原理，该原理基于所给数据前后对应项的和呈现一定的规律生成，因此，此方法也称之为高斯算法.现有函数，则等于（  ）

A.  B.  C.  D.

11. 难度：中等

已知球的半径为，三点在球的球面上，球心到平面的距离为，，, 则球的表面积为

A. B. C. D.

12. 难度：困难

已知函数，，存在实数，使的图象与的图象无公共点，则实数的取值范围为（   ）

A. B. C. D.

二、填空题

13. 难度：中等

已知向量，的夹角为，，，.若，则__________．

14. 难度：中等

展开式中的系数为__________．

15. 难度：中等

将函数的图象向右平移个单位长度后得到的图象关于直线对称，则的最小正值为__________．

16. 难度：中等

（2017.福建省质检）椭圆的右焦点与抛物线的焦点重合，点是椭圆和抛物线的一个公共点，点满足，则的离心率为__________．

三、解答题

17. 难度：中等

锐角中，角的对边分别为，的面积为，

（1）求的值；

（2）若，，求的最大值.

18. 难度：中等

在三棱柱中，已知侧棱与底面垂直，，且，，为的中点，为上一点，．

若三棱锥的体积为，求的长;

证明：平面．

19. 难度：简单

某职业学校有2000名学生，校服务部为了解学生在校的月消费情况，随机调查了100名学生，并将统计结果绘成直方图如图所示.

（1）试估计该校学生在校月消费的平均数；

（2）根据校服务部以往的经验，每个学生在校的月消费金额（元）和服务部可获得利润（元），满足关系式：根据以上抽样调查数据，将频率视为概率，回答下列问题：

（i）将校服务部从一个学生的月消费中，可获得的利润记为，求的分布列及数学期望.

（ii）若校服务部计划每月预留月利润的，用于资助在校月消费低于400元的学生，估计受资助的学生每人每月可获得多少元？

20. 难度：中等

设直线与抛物线交于，两点，与椭圆交于，两点，直线，，，（为坐标原点）的斜率分别为，，，，若.

（1）是否存在实数，满足，并说明理由；

（2）求面积的最大值.

21. 难度：困难

已知函数.

（1）对于，恒成立，求实数的取值范围；

（2）当时，令，求的最大值；

（3） 求证：.

22. 难度：中等

在极坐标系中，已知曲线：和曲线：，以极点为坐标原点，极轴为轴非负半轴建立平面直角坐标系.

（1）求曲线和曲线的直角坐标方程；

（2）若点是曲线上一动点，过点作线段的垂线交曲线于点，求线段长度的最小值.

23. 难度：简单

已知函数.

（Ⅰ）解不等式；

（Ⅱ）记函数的最小值为，若均为正实数，且，求的最小值.