2020届湖南省长沙市高三上学期月考（四）数学（理）试卷

一、单选题

1. 难度：中等

已知集合，集合，则（）

A. B.

C. D.

2. 难度：简单

设复数满足(i为虚数单位)，则z的共轭复数的虚部为

A.  B. C. D.

3. 难度：中等

太极图是以黑白两个鱼形纹组成的图案，它形象化地表达了阴阳轮转、相反相成是万物生成变化根源的哲理，展现了一种相互转化、相对统一的形式美.按照太极图的构图方法，在平面直角坐标系中，圆被的图象分割为两个对称的鱼形图案，其中小圆的半径均为，现在大圆内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率为（    ）

A. B. C. D.

4. 难度：简单

函数的图象大致形状为（    ）

A. B.

C. D.

5. 难度：简单

2019年4月，北京世界园艺博览会开幕，为了保障园艺博览会安全顺利地进行，某部门将5个安保小组全部安排到指定的三个不同区域内值勤，则每个区域至少有一个安保小组的排法有（      ）

A.150种 B.240种 C.300种 D.360种

6. 难度：中等

某公司为激励创新，计划逐年加大研发奖金投入，若该公司年全年投入研发奖金万元，在此基础上，每年投入的研发奖金比上一年增长，则该公司全年投入的研发奖金开始超过万元的年份是（    ）（参考数据：，，）

A.年 B.年 C.年 D.年

7. 难度：中等

已知两点，，若直线上存在四个点，使得是直角三角形，则实数的取值范围是（      ）

A. B.

C. D.

8. 难度：中等

一名法官在审理一起珍宝盗窃案时，四名嫌疑人甲、乙、丙、丁的供词如下，甲说：“罪犯在乙、丙、丁三人之中”；乙说：“我没有作案，是丙偷的”；丙说：“甲、乙两人中有一人是小偷”；丁说：“乙说的是事实”．经过调查核实，四人中有两人说的是真话，另外两人说的是假话，且这四人中只有一人是罪犯，由此可判断罪犯是(    )

A. 乙    B. 甲    C. 丁    D. 丙

9. 难度：简单

将函数图象上所有点的横坐标变为原来的（纵坐标不变），得函数的图象.若，，且函数在上具有单调性，则的值为（   ）

A. 2 B. 3 C. 5 D. 7

10. 难度：中等

定义域为的函数满足，当时，.若时，恒成立，则实数的取值范围是（     ）

A. B. C. D.

11. 难度：中等

已知椭圆：，直线与椭圆交于，两点，以线段为直径的圆经过原点.若椭圆的离心率不大于，则的取值范围为（      ）

A. B. C. D.

12. 难度：困难

在中，已知，，，为线段上的一点，且，则的最小值为（      ）

A. B. C. D.

二、填空题

13. 难度：中等

设向量，，且，则__________.

14. 难度：简单

已知，则展开式中项的系数为______.

15. 难度：中等

在区域中，若满足的区域面积占面积的，则实数的值为______.

16. 难度：中等

已知六棱锥，底面为正六边形，点在底面的射影为其中心.将该六棱锥沿六条侧棱剪开，使六个侧面和底面展开在同一平面上，若展开后点在该平面上对应的六个点全部落在一个半径为5的圆上，则当正六边形的边长变化时，所得六棱锥体积的最大值为__________．

三、解答题

17. 难度：中等

已知三内角，，的对边分别为，，，点为边的中点，，.

（1）求；

（2）求面积的最大值.

18. 难度：中等

如图，在几何体中，，四边形为矩形，平面平面，.

(1)求证：平面⊥平面；

(2)点在线段上运动，设平面与平面所成二面角的平面角为，试求的取值范围．

19. 难度：中等

已知数列是各项均为正数的等比数列，且

（1）数列 的通项公式；

（2）设数列满足，求该数列的前n项和.

20. 难度：中等

在国家积极推动美丽乡村建设的政策背景下，各地根据当地生态资源打造了众多特色纷呈的乡村旅游胜地.某人意图将自己位于乡村旅游胜地的房子改造成民宿用于出租，在旅游淡季随机选取100天，对当地已有的六间不同价位的民宿进行跟踪，统计其出租率（），设民宿租金为（单位：元/日），得到如图所示的数据散点图.

（1）若用“出租率”近似估计旅游淡季民宿每天租出去的概率，求租金为388元的那间民宿在淡季内的三天中至少有2天闲置的概率.

（2）①根据散点图判断，与哪个更适合于此模型（给出判断即可，不必说明理由）？根据判断结果求回归方程；

②若该地一年中旅游淡季约为280天，在此期间无论民宿是否出租，每天都要付出的固定成本，若民宿出租，则每天需要再付出的日常支出成本.试用①中模型进行分析，旅游淡季民宿租金约定为多少元时，该民宿在这280天的收益达到最大？

附：对于一组数据，，…，，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为；.

参考数据：记，，，，

，，

，，

，.

21. 难度：困难

已知函数f（x）=ax²+lnx，g（x）=-bx，其中a，b∈R，设h（x）=f（x）-g（x），

（1）若f（x）在x=处取得极值，且f′（1）=g（-1）-2．求函数h（x）的单调区间；

（2）若a=0时，函数h（x）有两个不同的零点x₁，x₂

①求b的取值范围；

②求证：＞1．

22. 难度：中等

在直角坐标系 中，曲线 的参数方程为 （为参数），以坐标原点为极点， 轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线 的极坐标方程为 .

（1）求直线和曲线的普通方程；

（2）已知点，且直线和曲线交于两点，求 的值

23. 难度：中等

已知关于x的不等式（其中）．

（1）当a=4时，求不等式的解集；

（2）若不等式有解，求实数a的取值范围．