2019届湖南省长沙市高三上学期入学考试数学(理)试卷

一、单选题

1. 难度：简单

已知是虚数单位，复数满足，则（   ）

A. B. C.2 D.1

2. 难度：简单

已知A＝{x|﹣4＜x＜3}，B＝{x|﹣x²+4x≥0}，C＝{x|x＝2n，n∈N^*}，则（A∪B）∩C＝（    ）

A.{0，2} B.{4，2} C.{0，2，4} D.{x|x＝2n，n∈N^*}

3. 难度：简单

将射线按逆时针方向旋转到射线的位置所成的角为，则（    ）

A. B. C. D.

4. 难度：简单

用指数模型去拟合一组数据时，为了求出回归方程，设z＝㏑y，变换后得到线性回归直线方程，则常数的值为（    ）

A. B. C.0.3 D.4

5. 难度：中等

一个圆形电子石英钟由于缺电，指针刚好停留在整，三个指针(时针、分针、秒针)所在射线将时钟所在圆分成了三个扇形，一只小蚊子（可看成是一个质点）随机地飞落在圆面上，则恰好落在时针与分针所夹扇形内的概率为（   ）

A. B. C. D.

6. 难度：简单

二次函数f（x）满足f（2+x）＝f（2﹣x），且f（x）在[0，2]上是减函数，若f（a）≤f（0），则实数a的取值范围为（    ）

A.[0，4] B.（﹣∞，0]

C.[0，+∞） D.（﹣∞，0]∪[4，+∞）

7. 难度：中等

已知一几何体的三视图如图所示，俯视图是一个等腰直角三角形和半圆，则该几何体的表面积为（    ）

A. B. C. D.

8. 难度：中等

设抛物线y²＝4x上一点P到y轴的距离为d₁，到直线l：3x+4y+12＝0的距离为d₂，则d₁+d₂的最小值为（    ）

A. B. C.3 D.2

9. 难度：中等

已知，，，若点是所在平面内一点，且，则的最大值等于（   ）.

A. B. C. D.

10. 难度：困难

已知三棱锥的所有顶点都在球的球面上，，，若三棱锥体积的最大值为2，则球的表面积为(    )

A. B. C. D.

11. 难度：困难

已知中心在原点的椭圆与双曲线有公共焦点，左、右焦点分别为，，且两条曲线在第一象限的交点为，若是以为底边的等腰三角形.椭圆与双曲线的离心率分别为，，则的取值范围是（   ）

A. B. C. D.

12. 难度：困难

已知实数满足，则（   ）

A. B. C. D.

二、填空题

13. 难度：简单

关于x，y，z的方程x+y+z＝7（其中x，y，z∈N₊）的解共有_____组．

14. 难度：中等

已知 实数满足约束条件，且的最小值为，则常数__________．

15. 难度：困难

平面四边形中，，，，，则的最小长度为__________．

16. 难度：中等

高斯是德国者名的数学家，有“数学王子”之称，以其名字命名的成果有110个．设x∈R，用[x]表示不超过x的最大正数，用{x}＝x﹣[x]表示x的非负纯小数，则y＝[x]称为高斯函数，已知数列{a_n}满足a₁，a_n+1＝[a_n]，则a₂₀₁₉＝_____

三、解答题

17. 难度：简单

已知等差数列{a_n}中，a₅＝8，a₁₀＝23．

（1）令，证明：数列{b_n}是等比数列；

（2）求数列{nb_n}的前n项和S_n．

18. 难度：中等

如图，在正三棱柱（底面为正三角形的直棱柱）ABC﹣A₁B₁C₁中，已知AB＝AA₁＝2，点Q为BC的中点．

（1）求证：平面AQC₁⊥平面B₁BCC₁；

（2）求直线CC₁与平面AQC₁所成角的正切值．

19. 难度：中等

按照我国《机动车交通事故责任强制保险条例》规定，交强险是车主必须为机动车购买的险种，若普通7座以下私家车投保交强险第一年的费用（基准保费）统一为元，在下一年续保时，实行的是保费浮动机制，保费与上一、二、三个年度车辆发生道路交通事故的情况相关联，发生交通事故的次数越多，费率也就越高，具体浮动情況如表：

某机构为了研究某一品牌普通7座以下私家车的投保情况，随机抽取了80辆车龄已满三年的该品牌同型号私家车在下一年续保时的情况，统计得到了下面的表格：

以这80辆该品牌车的投保类型的频率代替一辆车投保类型的概率，完成下列问题：

（1）某家庭有一辆该品牌车且车龄刚满三年，记为该车在第四年续保时的费用，求的分布列；

（2）某销售商专门销售这一品牌的二手车，且将下一年的交强险保费高于基准保费的车辆记为事故车.

①若该销售商购进三辆车（车龄已满三年）该品牌二手车，求这三辆车中至少有2辆事故车的概率；

②假设购进一辆事故车亏损4000元，一辆非事故车盈利8000元.若该销售商一次购进100辆(车龄已满三年）该品牌二手车，求其获得利润的期望值.

20. 难度：中等

椭圆（a＞0，b＞0）的左右焦点分别为F₁，F₂，与y轴正半轴交于点B，若△BF₁F₂为等腰直角三角形，且直线BF₁被圆x²+y²＝b²所截得的弦长为2，

（1）求椭圆的方程；

（2）直线l：y＝kx+m与椭圆交于点A，C，线段AC的中点为M，射线MO与椭圆交于点P，点O为△PAC的重心，求证：△PAC的面积S为定值；

21. 难度：困难

已知函数，g（x）＝b（x﹣1），其中a≠0，b≠0

（1）若a＝b，讨论F（x）＝f（x）﹣g（x）的单调区间；

（2）已知函数f（x）的曲线与函数g（x）的曲线有两个交点，设两个交点的横坐标分别为x₁，x₂，证明：．

22. 难度：中等

直线l的参数方程为（t为参数），以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρsin²θ＝4acosθ，直线l与曲线C交于不同的两点M，N．

（1）求实数a的取值范围；

（2）已知a＞0，设点P（﹣1，﹣2），若|PM|，|MN|，|PN|成等比数列，求a的值．

23. 难度：中等

已知函数.

（1）当时，解不等式；

（2）当时，不等式对任意恒成立，求实数的取值范围.