山西省大同市2020届高三下学期2月模拟二数学（理）试卷

一、单选题

1. 难度：简单

设的实部与虚部相等，其中为实数，则（   ）

A.−3 B.−2 C.2 D.3

2. 难度：简单

已知集合，则（    ）

A. B. C. D.

3. 难度：中等

已知命题P：若命题P是假命题，则a的取值范围为（    ）

A. B.

C. D.

4. 难度：简单

已知，其中为锐角，若与夹角为，则

（ ）

A. B. C. D.

5. 难度：中等

已知数列的奇数项依次成等差数列，偶数项依次成等比数列，且，，，，则（  ）

A. B.19 C.20 D.23

6. 难度：简单

以下给出的是计算的值的一个程序框图（如图所示），其中判断框内应填入的条件是  （    ）                                                                

A.i>10? B.i<10?

C.i<20? D.i >20?

7. 难度：简单

如图是某空间几何体的三视图，其中正视图、侧视图、俯视图依次为直角三角形、直角梯形、等边三角形，则该几何体的体积为（    ）

A. B. C. D.

8. 难度：简单

如图，长方体ABCD﹣A₁B₁C₁D₁中，AB＝BC＝4，，点E，F，M分别为C₁D₁，A₁D₁，B₁C₁的中点，过点M的平面α与平面AEF平行，且与长方体的面相交，则交线围成的几何图形的面积为（    ）

A. B. C.12 D.24

9. 难度：中等

设θ是两个非零向量、的夹角，若对任意实数t，|t|的最小值为1，则下列判断正确的是（    ）

A.若||确定，则θ唯一确定 B.若||确定，则θ唯一确定

C.若θ确定，则||唯一确定 D.若θ确定，则||唯一确定

10. 难度：困难

某人设计一项单人游戏，规则如下：先将一棋子放在如图所示正方形（边长为2个单位）的顶点处，然后通过掷骰子来确定棋子沿正方形的边按逆时针方向行走的单位，如果掷出的点数为，则棋子就按逆时针方向行走个单位，一直循环下去.则某人抛掷三次骰子后棋子恰好又回到点处的所有不同走法共有（   ）

A.22种 B.24种 C.25种 D.27种

11. 难度：困难

在直角坐标系内，已知是以点为圆心的圆上的一点，折叠该圆两次使点分别与圆上不相同的两点（异于点）重合，两次的折痕方程分别为和，若圆上存在点，使得，其中点、，则的取值范围为（   ）

A. B. C. D.

12. 难度：困难

已知函数，，若对任意的，总有恒成立，记的最小值为，则最大值为（   ）

A.1 B. C. D.

二、填空题

13. 难度：中等

若，则=_____________.

14. 难度：中等

的展开式中项的系数为270，则__________．

15. 难度：中等

设曲线与轴、轴、直线围成的封闭图形的面积为，若在上单调递减，则实数的取值范围是__________．

16. 难度：困难

已知椭圆：的两个焦点分别为和，短轴的两个端点分别为和，点在椭圆上，且满足，当变化时，给出下列三个命题：

①点的轨迹关于轴对称；②的最小值为2；

③存在使得椭圆上满足条件的点仅有两个，

其中，所有正确命题的序号是__________．

三、解答题

17. 难度：简单

如图，在凸四边形中，，，，．设．

（1）若，求的长；

（2）当变化时，求的最大值．

18. 难度：简单

某单位举办2010年上海世博会知识宣传活动，进行现场抽奖，

盒中装有9张大小相同的精美卡片，卡片上分别印有“世博会会徽” 或“海宝”（世博会吉祥物）图案;抽奖规则是：参加者从盒中抽取卡片两张，若抽到两张都是“海宝”卡

即可获奖，否则，均为不获奖.卡片用后放回盒子，下一位参加者继续重复进行.

（1）活动开始后，一位参加者问：盒中有几张“海宝”卡？主持人答：我只知道，

从盒中抽取两张都是“世博会会徽“卡的概率是，求抽奖者获奖的概率;

（2）现有甲、乙、丙、丁四人依次抽奖，用表示获奖的人数，求的分布列及的值.

19. 难度：中等

如图①，在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝1，E是CD的中点，将三角形ADE沿AE翻折到图②的位置，使得平面AED′⊥平面ABC．

（1）在线段BD'上确定点F，使得CF∥平面AED'，并证明；

（2）求△AED'与△BCD'所在平面构成的锐二面角的正切值．

20. 难度：困难

若椭圆：上有一动点，到椭圆的两焦点，的距离之和等于，到直线的最大距离为.

（Ⅰ）求椭圆的方程；

（Ⅱ）若过点的直线与椭圆交于不同两点、，（为坐标原点）且，求实数的取值范围.

21. 难度：困难

设函数为常数

(1)若函数在上是单调函数，求的取值范围；

(2)当时，证明.

22. 难度：中等

在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数），直线l与曲线C：（y﹣1）²﹣x²＝1交于A，B两点．

（1）求|AB|的长；

（2）在以O为极点，x轴的正半轴为极轴建立的极坐标系中，设点P的极坐标为，求点P到线段AB中点M的距离．

23. 难度：中等

设函数，．

（1）若不等式的解集为，求a的值；

（2）若存在，使，求a的取值范围．