Question

如图，已知：在△ABC中，AC=BC=4，∠ACB=120°，将一块足够大的直角三角尺PMN（∠M=90°，∠MPN=30°）按如图放置，顶点P在线段AB上滑动，三角尺的直角边PM始终经过点C，并且与CB的夹角∠PCB=α，斜边PN交AC于点D．

（1）当PN∥BC时，判断△ACP的形状，并说明理由；

（2）点P在滑动时，当AP长为多少时，△ADP与△BPC全等，为什么？

（3）点P在滑动时，△PCD的形状可以是等腰三角形吗？若可以，请求出夹角α的大小；若不可以，请说明理由．

Answer

（1）△ACP是直角三角形，理由见解析；（2）4，理由见解析；（3）当α=45°或90°或0°时，△PCD是等腰三角形．

【解析】

试题 为直角三角形，理由为：，得到一对内错角相等，求出为直角，即可得证；
（2）当AP=4时，△ADP与△BPC全等，理由为：根据且，求出 与度数，再由外角性质得到 根据，利用 即可得证；
点在滑动时，的形状可以是等腰三角形，分三种情况考虑：当 分别求出夹角的大小即可．

试题解析：(1)是直角三角形，理由为：

当时,

又，

∴是直角三角形；

(2)当AP=4时,

理由为：

又∵∠APC是△BPC的一个外角，

又

∴

(3)△PCD的形状可以是等腰三角形，

则

①当PC=PD时，△PCD是等腰三角形，

即

②当PD=CD时，△PCD是等腰三角形，

即

③当PC=CD时，△PCD是等腰三角形，

即

，

此时点P与点B重合，点D和A重合，

综合所述：当或或 时，△PCD是等腰三角形.