Question

某药厂销售部门根据市场调研结果，对该厂生产的一种新型原料药未来两年的销售进行预测，井建立如下模型：设第t个月该原料药的月销售量为P（单位：吨），P与t之间存在如图所示的函数关系，其图象是函数P=（0＜t≤8）的图象与线段AB的组合；设第t个月销售该原料药每吨的毛利润为Q（单位：万元），Q与t之间满足如下关系：Q=

（1）当8＜t≤24时，求P关于t的函数解析式；

（2）设第t个月销售该原料药的月毛利润为w（单位：万元）

①求w关于t的函数解析式；

②该药厂销售部门分析认为，336≤w≤513是最有利于该原料药可持续生产和销售的月毛利润范围，求此范围所对应的月销售量P的最小值和最大值．

Answer

（1）P=t+2；（2）①当0＜t≤8时，w=240；当8＜t≤12时，w=2t2+12t+16；当12＜t≤24时，w=﹣t2+42t+88；②此范围所对应的月销售量P的最小值为12吨，最大值为19吨．

【解析】（1）设8＜t≤24时，P=kt+b，将A（8，10）、B（24，26）代入求解可得P=t+2；

（2）①分0＜t≤8、8＜t≤12和12＜t≤24三种情况，根据月毛利润=月销量×每吨的毛利润可得函数解析式；

②求出8＜t≤12和12＜t≤24时，月毛利润w在满足336≤w≤513条件下t的取值范围，再根据一次函数的性质可得P的最大值与最小值，二者综合可得答案．

（1）设8＜t≤24时，P=kt+b，

将A（8，10）、B（24，26）代入，得：

，

解得：，

∴P=t+2；

（2）①当0＜t≤8时，w=（2t+8）×=240；

当8＜t≤12时，w=（2t+8）（t+2）=2t2+12t+16；

当12＜t≤24时，w=（-t+44）（t+2）=-t2+42t+88；

②当8＜t≤12时，w=2t2+12t+16=2（t+3）2-2，

∴8＜t≤12时，w随t的增大而增大，

当2（t+3）2-2=336时，解题t=10或t=-16（舍），

当t=12时，w取得最大值，最大值为448，

此时月销量P=t+2在t=10时取得最小值12，在t=12时取得最大值14；

当12＜t≤24时，w=-t2+42t+88=-（t-21）2+529，

当t=12时，w取得最小值448，

由-（t-21）2+529=513得t=17或t=25，

∴当12＜t≤17时，448＜w≤513，

此时P=t+2的最小值为14，最大值为19；

综上，此范围所对应的月销售量P的最小值为12吨，最大值为19吨．