Question

如图，△ABC是边长为6的等边三角形，P是AC边上一动点，由A向C运动(与A、C不重合)，Q是CB延长线上一动点，与点P同时以相同的速度由B向CB延长线方向运动(Q不与B重合)，过P作PE⊥AB于E，连接PQ交AB于D．

(1)若AE＝1时，求AP的长；

(2)当∠BQD＝30°时，求AP的长；

(3)在运动过程中线段ED的长是否发生变化？如果不变，求出线段ED的长；如果发生变化，请说明理由．

Answer

（1）2（2）2（3）DE=3是定值

【解析】

（1）根据等边三角形的性质得到∠A=60°，根据三角形内角和定理得到∠APE=30°，根据直角三角形的性质计算；

（2）过P作PF∥QC，证明△DBQ≌△DFP，根据全等三角形的性质计算即可；

（3）根据等边三角形的性质、直角三角形的性质解答．

（1）∵△ABC是等边三角形，

∴∠A=60°，

∵PE⊥AB，

∴∠APE=30°，

∵AE=1，∠APE=30°，PE⊥AB，

∴AP=2AE=2；

（2）过P作PF∥QC，

则△AFP是等边三角形，

∵P、Q同时出发，速度相同，即BQ=AP，

∴BQ=PF，

在△DBQ和△DFP中，

，

∴△DBQ≌△DFP，

∴BD=DF，

∵∠BQD=∠BDQ=∠FDP=∠FPD=30°，

∴BD=DF=FA=AB=2，

∴AP=2；

（3）由（2）知BD=DF，

∵△AFP是等边三角形，PE⊥AB，

∴AE=EF，

∴DE=DF+EF=BF+FA=AB=3为定值，即DE的长不变．