Question

(本小题满分16分)

已知数列是等差数列,数列是等比数列,且对任意的,都有.

 (1)若的首项为4,公比为2,求数列的前项和;

 (2)若.

①求数列与的通项公式;

②试探究:数列中是否存在某一项,它可以表示为该数列中其它项的和？若存在,请求出该项；若不存在,请说明理由．

Answer

(1) (2) ①②这样的项不存在

【解析】

试题分析：(1)因为,所以当时, ,两式相减,得,

而当时,,适合上式,从而………………………3分

又因为是首项为4,公比为2的等比数列,即,所以………………4分

从而数列的前项和…………6分

(2)①设,则,所以,

设的公比为,则对任意的恒成立  ………8分

即对任意的恒成立,

又,故,且…………………………………10分

从而……………………………………………11分

②假设数列中第k项可以表示为该数列中其它项

的和,即,从而,易知  (*)……………13分

又,

所以,此与(*)矛盾,从而这样的项不存在……………………………16分

考点：数列由前n项和求通项，等比数列求和