Question

已知函数f（x）=ax²+（b-8）x-a-ab（a≠0），当x∈（-3，2）时，f（x）＞0；当x∈（-∞，-3）∪（2，+∞）时，f（x）＜0．
（1）求f（x）在[0，1]内的值域；
（2）c为何值时，不等式ax²+bx+c≤0在[1，4]上恒成立．

Answer

根据题意，函数f（x）=ax2+（b-8）x-a-ab（a≠0），有两个未知参数，进而分析由x∈（-3，2）时，f（x）＞0；当x∈（-∞，-3）∪（2，+∞）时，f（x）＜0．可知x=-3和x=2是函数f（x）的零点，由此可以得到两个参数的两个方程，解此两方程求出a，b的值．
（1）f（x）在[0，1]内是减函数，由单调性求出两端点，即可得到值域．
（2）构造函数g（x）=-3x2+5x+C，不等式ax2+bx+c≤0在[1，4]上恒成立，由于函数g（x）在[1，4]上是减函数，故一定有
g（1）≤0，由此不等式可以解出c的取值范围．
【解析】
由题意得x=-3和x=2是函数f（x）的零点且a≠0，则

解得
∴f（x）=-3x2-3x+18．
（1）由图象知，函数在[0，1]内单调递减，
∴当x=0时，y=18；
当x=1时，y=12，
∴f（x）在[0，1]内的值域为[12，18]．
（2）令g（x）=-3x2+5x+C、
∵g（x）在[，+∞）上单调递减，要使g（x）≤0在[1，4]上恒成立，则需要g（1）≤0．
即-3+5+c≤0，解得c≤-2，
∴当c≤-2时，不等式ax2+bx+c≤0在[1，4]上恒成立．