Question

定义在R上的单调函数f（x）满足f（3）=log₂3且对任意x，y∈R都有f（x+y）=f（x）+f（y）．
（1）求证f（x）为奇函数；
（2）若f+f（3^x-9^x-2）＜0对任意x∈R恒成立，求实数k的取值范围．

Answer

（1）欲证f（x）为奇函数即要证对任意x都有f（-x）=-f（x）成立．在式子f（x+y）=f（x）+f（y）中，令y=-x可得f（0）=f（x）+f（-x）于是又提出新的问题，求f（0）的值．令x=y=0可得f（0）=f（0）+f（0）即f（0）=0，f（x）是奇函数得到证明．
（2）先将不等关系f（k•3x）+f（3x-9x-2）＜0转化成f（k•3x）＜f（-3x+9x+2），再结合函数的单调性去掉“f”符号，转化为整式不等关系，最后利用分离系数法即可求实数k的取值范围．
【解析】
（1）证明：f（x+y）=f（x）+f（y）（x，y∈R），①
令x=y=0，代入①式，得f（0+0）=f（0）+f（0），即f（0）=0．
令y=-x，代入①式，得f（x-x）=f（x）+f（-x），又f（0）=0，则有
0=f（x）+f（-x）．即f（-x）=-f（x）对任意x∈R成立，所以f（x）是奇函数．
（2）【解析】
f（3）=log23＞0，即f（3）＞f（0），
又f（x）在R上是单调函数，
所以f（x）在R上是增函数，
又由（1）f（x）是奇函数．
f（k•3x）＜-f（3x-9x-2）=f（-3x+9x+2），
k•3x＜-3x+9x+2，
令t=3x＞0，分离系数得：，
问题等价于，对任意t＞0恒成立．
∵，
∴．