Question

在单调递增数列{a_n}中，a₁=2，不等式（n+1）a_n≥na_2n对任意n∈N^*都成立．
（Ⅰ）求a₂的取值范围；
（Ⅱ）判断数列{a_n}能否为等比数列？说明理由；
（Ⅲ）设，，求证：对任意的n∈N^*，．

Answer

（Ⅰ）根据{an}为单调递增数列，a1=2，在不等式（n+1）an≥na2n中令n=1即可求a2的取值范围；
（Ⅱ）可用反证法证明：假设数列{an}是公比为q的等比数列，可得an=2qn-1根据{an}为单调递增数列，可求得q＞1，由（n+1）an≥na2n对任意n∈N*都成立，利用等比数列的性质可得≥qn①，因为q＞1，所以∃n∈N*，使得当n≥n时，qn＞2，从而＞2，与≤2矛盾，于是可判断数列{an}不能为等比数列；
（Ⅲ）对于的分子部分，可根据b1=c1=3，结合已知条件，求得b2，c2；b3，c3通过比较两者的大小，猜想bn≤cn．然后用数学归纳法予以证明；对于其分母，可结合条件证明an＜12，从而是问题得到解决．
【解析】
（Ⅰ）∵{an}是单调递增数列，
∴a2＞a1，a2＞2．
令n=1，2a1≥a2，a2≤4，
∴a2∈（2，4]．（4分）
（Ⅱ）证明：数列{an}不能为等比数列．
用反证法证明：
假设数列{an}是公比为q的等比数列，a1=2＞0，an=2qn-1．
因为{an}单调递增，所以q＞1．
因为n∈N*，（n+1）an≥na2n都成立．
所以n∈N*，≥qn①
因为q＞1，所以∃n∈N*，使得当n≥n时，qn＞2．
因为（n∈N*）．
所以∃n∈N*，当n≥n时，，与①矛盾，故假设不成立．（9分）
（Ⅲ）证明：观察：b1=c1=3，，，…，猜想：bn≤cn．
用数学归纳法证明：
（1）当n=1时，b1=3≤c1=3成立；
（2）假设当n=k时，bk≤ck成立；
当n=k+1时，
====ck+1
所以bk+1≤ck+1．
根据（1）（2）可知，对任意n∈N*，都有bn≤cn，即bn-cn≤0．
由已知得，．
所以．
所以当n≥2时，≤2cn-1=＜12．
因为a2＜a4＜12．
所以对任意n∈N*，．
对任意n∈N*，存在m∈N*，使得n＜2m，
因为数列{an}单调递增，
所以，an-12＜0．
因为bn-cn≤0，
所以．（14分）