Question

已知函数，图象的相邻两条对称轴之间的距离是，其中一个最高点为.

（1）求函数的解析式；

（2）求函数在上的单调递增区间；

（3）若对于任意的恒成立，求的取值范围.

Answer

（1）；（2）递增区间和；（3）.

【解析】

（1）根据函数图象的最高点的坐标求出的值，结合题意求出该函数的最小正周期，可求出的值，再将点的坐标代入函数的解析式，结合的取值范围可求出的值，从而可得出函数的解析式；

（2）求出函数在上的单调区间，再与区间取交集可得出函数在上的单调递增区间；

（3）由题意得出，求出函数在区间上的最小值，即可得出实数的取值范围.

（1）由于函数的图象的一个最高点坐标为，则，得.

设该函数的最小正周期为，则，所以，，得，

此时，

将点的坐标代入函数的解析式得，，

，，则，，解得.

因此，；

（2）令，解得，

所以，函数的单调递增区间为，

，

因此，函数在上的单调递增区间为和；

（3）恒成立，等价于恒成立，

，则，

当，即时，该函数取得最小值，即，.

因此，实数的取值范围是.