Question

已知函数

(1)讨论函数的单调性;

(2)设,当函数与的图象有三个不同的交点时,求实数的取值范围.

Answer

(1) 函数在上单调递增,在上单调递减.

(2)

【解析】

(1)对函数求导,根据的不同取值,结合不等式,可以判断出函数的单调性;

(2)由题意可知：,得.得,

设,则有三个不同的根等价于函数存在三个不同的零点.对函数进行求导,然后判断出其单调性,结合零点存在原理,最后求出实数的取值范围.

(1)的定义域是,

,

当时.两数在上单调递增;

当时,令,得;令,得.

故函数在上单调递增,在上单洞递破.

(2)由，得.得,

设，则有三个不同的根等价于函数存在三个不同的零点.

,

当即时,，单调递减,不可能有三个不同的零点,

当即，有两个零点,

,

又开口向下，

当时, ,函数在上单调递诫:

当时.函数在上单调递增:

当时.,函数在上单调递减.

因为，又，有,

所以

,

令.则.

令.则单调递增.

由,求得,

当时，单调递减，.，

显然在上单调递增，

故.

由零点存在性定理知在区间上有一个根.设为,

又.得.所以.所以是的另一个零点,

故当时,存在三个不同的零点.

故实数的取值范围是.